Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iiber d. involut. Bezieh. a. d. Kurven 2. Grades u. sog. Aufg. 2. Grades. 305
der Arithmetik, welche durch quadratische volution sein. Man bekommt also
Gleichungen, also ebenfalls mit zwei dadurch einen füiiften KurvenLösungen ausgeführt werden, oder den- punkt und kann nach Paskal weiter
jenigen der Planimetrie, welche durch konstruieren. Man erhält zweierlei
Kreisschnitte mit Geraden oder Kreisen Lösungen, jenachdem man den einen
gelöst werden. Während aber bei oder anderen Ordnungspunkt als
den Aufgaben ersten Grades nur die Fälle fünften Kurvenpunkt zu den vier
mit einer oder keiner Lösung auseinander- gegebenen hinzunimmt. Man erzuhalten sind, müssen hier stets die drei hält aber keine Lösung, wenn die
Fälle mit zwei oder einer oder keiner auf der Geraden erzeugte Involution
Lösung untersucht werden. Da die Auf- keine Ordnungspunkte enthält,
suchung der Ordnungselemente einer also nach Satz 27a, wenn die GeInvolution die Verwendung eines rade bei konvexem Viereck der
Kreises nötig macht, so sieht man, daß vier Punkte ungeradzahlig, bei
eine Aufgabe zweiten Grades nicht ohne konkavem Viereck geradzahlig
Vorhandensein einer kontinuierlich ge- die Punkte trennt. Die zwischenzeichneten Kur ve ausgefihrt werden liegende Lösung mite i n z i g er Kurve
kann. In der Tat bildet es einen be- würde dem Zwischenfalle zugehören,
sonders interessanten Zweig der Aufgaben daß die Gerade durch einen der
zweiten Grades, sie alle zu lösen mittels Punkte selber hindurchginge.
des Lineals und einer einzigen, ein für
allemal als vorhanden angenommenen
kontinuierlich gezeichneten Kurve.
Aufgabe 175. Eine Parabel durch vier gegebene Punkte zu legen.
Aufgabe 176. Man beweise, daß
durch vier egegbene Punkte bei AuflösIng. Da die unendlich
konvexerLage stets z w e i Parabel n, ferne Gerade als Tangente die vier
bei konkaver Lage nie eine Pa- im endlichen liegenden Punkte stets
rabel möglich ist. alle vier auf gleicher Seite hat,
so hat die Involution auf derselben
Erkl. 513. Die Elemente PPPP, T bei konvexer Lage stets zwei, bei
liefern die Möglichkeit unendlich ferner konkaver Lage stets keinen OrdElemente, indem entweder TO oder PO nungspunkt.
ein- bezw. zweimal eingesetzt wird.
Aufgabe 177, 178. EineHyperbel
zu konstruieren, von welcher gegeben Andeutung. Man hat PPPP), T
sind bezw. PPPo PO, T als gegebene
(177) drei Punkte, eine Tangente Stücke -und erhält jeweils keine oder
und eine Asymptotenrich- zwei Kurven.
tung,
(178) zwei Punkte, eine Tangente
und beide Asymptotenrichtungen.
Sacls, Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil. 20