Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Allgemleine Beziehungen zwischen Pol und Polare. 25
fi) die Verbindungsgerade f3) der Schnittpunkt der
der Berührungspunkte auf Kurventangenten in den beiden
den beiden Kurventangenten des Kurvenschnittpunkten der veränderveränderlichen Punktes Q; lichen Geraden q:
y) die vierte harmonische ') der vierte harmonische
Gerade zur gegebenen Geraden p Punkt zum gegebenen Punkte P
und diesen beiden Tangenten des und diesen beiden IKurvenpunkten
veränderlichen Punktes Q. der veränderlichen Geraden q.
II. Man kiann aber auch aus der Planimetrie den Begriff des,geometrischen Ortes" herübernehmen für die Gesamtheit der
L a gen eines Punktes bezw. einer Geraden, welche gewissen Bedingungen
genügen, und erhält dann:
Satz 6. Der Pol P einer be- Satz 6a. Die Polare p eines
liebigen Geraden p in bezug beliebigen Punktes P in
auf einen gegebenen Kegel- bezug auf einen gegebenen
schnitt ist der geometrische Kegelschnitt ist der geomeOrt für: trische Ort für:
a) die beiden Diagonalen eines a) die beiden GegenseitenschnittVierseits, welches von den beiden punkte eines Vierseits, welches von
Tangentenpaaren aus zwei be- den beiden Kurvenpunkten auf
liebigen Punkten von p als Gegen- zwei beliebigen Geraden durch P
seiten gebildet wird; als Gegenecken gebildet wird;
fi) die Verbindungsgerade der /ß) die Schnittpunkte der
Berührungspunkte auf den Kurventangenten in den beiden
beiden Kurventangenten aus einem Kurvenschnittpunkten einer GePunkte von p; raden durch P;
y) die vierte harmonische y) den vierten harmonischen
Gerade zu p und den beiden Punkt zu P und den beiden
Kurventangenten aus einem Punkte Kurvenschnittpunkten einer
von p. Gertaden durch P.
Erkl. 49. Die Grundlage für jede
Polaritätsbeziehung ist das Vorhan den- Fig 9.
sein einer gegebenen Kurve. In
Beziehung zu dieser Kurve hat jede!\
Gerade der Ebene einen Pol, jeder Punkt
der Ebene eine Polare; in Beziehung zu
einer beliebigen andern Kurve hat \ \
jede Gerade einen andern Pol, jeder
Punkt eine andere Polare. Daher muß
in jedem Satze über Polaritätseigen- \
schalten vorangestellt werden, daß die \\
behandelten Punkte und Geraden in Be- '' 1
ziehung zu dieser Kurve gesetzt werden \\
sollen oder einer gegebenen Kurve.: v \
zugeordnet sein sollen. Mit eben./ \
diesem Wortlaut geschieht solches in der ~ _ \
vorstehenden Fassung der Sätze, /
während in den Sätzen 2 und 2a die Kurve
als Strahlenbüschel bezw. als Punktreihe /
eingeführt wurde. Wegen dieser Wichtig- 1/
keit wird die der Polaritätseigenschaft,