Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

302 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Seiten stets durch den vierten har- Satz/;'. Wird eine einem gegebenen
mnonischen Punkt der dritten Seite. Dreieck umgeschriebene Kurve so
verändert, daß sie in dem einen
Erkl. 508. - Die Berührungspunkte Eckpunkt stets eine feste Tangente
S2 B3 4 der Kurve in Figur 82 liegen berührt, so liegt der Tangentenbeide gleicherseits t oberhalb Q Q2. schnittpunkt für die beiden anderen
Bei dieser Lage (und bei der entgegen- Eckpunkte stets auf der vierten
gesetzten, daß beide unterhalb wären) harmonischen Geraden des ersten
ist der feste Punkt für die Berührungs- Eckpunktes.
sehne der außerhalb Q1 Q2 liegende
Ordnungspunkt C 2. Liegen aber die Erkl. 509. Der Schnittpunkt der
Berührungspunkte zu verschiedenen Tangenten t 2 b3 in Figur 83 liegt inm
Seiten von t (der eine oberhalb und Innenwinkel der Tangenten q1 q2. Bei
der andere unterhalb 1Q2), so ist der dieser Lage (lnd bei der entgegenfeste Punkt der andere Ordnungspunkt gesetzten im Scheitelwinkel) ist die feste
der Involution A A2 Q1 Q2. Im zwischen- Gerade füir den Tangentenschnittpunkt
liegenden Falle müssen beide Be- der imn Innenwinkel q q2 liegende Ordrührungspunkte auf t selber in A A, zu nungsstrahl c2. Liegt aber der Schnittliegen kommen, und ihre Verbindungs- punkt im Nebenwinkel von ql q2, so ist
gerade geht gleichzeitig durch beide der feste Strahl der andere OrdnungsOrdnungspunkte der Involution, indem strahl der Involution aa2 ql (q. Im
die ganze Kurve ausartet zur doppelt zwisehenliegenden Falle müssen heide
gelegten Strecke A1 A2 bezw. als Klassen- T'angenten mit a aa selber zusammenfallen,
kurve zur Gesamtheit der durch die und ihr Schnittpunkt liegt gleichzeitig auf
Punkte A1 und A2 hindurchgehenden beiein Ordnungsstrallen der Involution,
Geraden. indem die Kurve zusammenschrumpft zum
Punkte S selber als ausgeartete unendlich
kleine Kurve mit doppelt zhillendem
Punkte S bezw. als Ordnungskurve zur
Gesamtheit der auf deni Geraden at und
a, liegenden Punkte.
Erkl. 510. Man beachte, daß die beiden ersten Lehrsätze infolge der dualistischen Gegenüberstellung genau gleiche Voraussetzungen erhalten, daß also der
Nachsatz von beiden Seiten gleichzeitig für denselben Vordersatz ausgesprochen
werden kann. Das zweite Paar von Sätzen ist schon aus frühieren Untersuchungen
zu entnehmen (vergl. Erkl. 209 des II. Teils). Man kann den Inhalt in andere
Form bringen, wenn man in Figur 84 die zweite Tangente aus C12 zieht bezw. iu
Figur 85 den zweiten Kurvenpunkt auf c 2 benitzt. Delnn die Polare zu C19 in
Figur 84 geht sowohl durch Q den Schnittpunkt der Trangenten in S und B
als durch den Berührungspunkt der zweiten Tangenite aus C. Und der Pol von
Gl2 in Figur 85 liegt sowohl auf q als Berührungssehne der Tangenten t und
b, als auf der Tangente im zweiten Kurvenschnittpunkte von c. So erhilt man die
andere Ausdrucksweise in zwei dualistisch inhalts-kongrnenten Sätzen:
Satz c. Geht die Berührungssehne Satz;. Liegt der Schnittpunkt
zweier Tangenten durch den Schnitt- der Tangenten zweier Kurvenpunkte
punkt zweier anderen Tangenten, auf der Sekante durch zwei andere
so geht auch die Berührungssehne Kurvenpunkte, so liegt auch der
dieser letzten Tangenten durch den Schnittpunkt der Tangenten dieser
Schnittpunkt der ersten. letzteren Kurvenpunkte auf der
Sekante der ersten.