Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iber involutorische Beziehungen am vollständigen Viereck u. Vierseit. 297
Satz. Wenn zwei Paar Gegenseiten anderen vollständigen Vierecks, so
und eine fiinfte Seite eines vollständigen müssen auch die sechsten Seiten
Vierecks alle einen und denselben aber des ersten und des zweiten Vierecks
beliebig großen schiefen bezw. parallel sein.
rechten Winkel bilden mit zwei Paar 2) Liegt der Scheitel im unendGegenseiten und einer fünften Seite irgend lichen, so müssen alle Geraden daeines anderen vollständigen Vierecks, so hia parallel sein, und man erhält
bilden auch die sechsten Seiten beider als besonderenEinzelfall der vorigen
Vierecke denselben schiefen Winkel mit- Sätze a und fl:
einander, bezw. stehen senkrecht aufeinander. - Daß auch zu finf Parallel- Satz y. Wenn fünf Eckpunkte
geraden eine bestimmte sechste Parallel- eines vollständigen Vierseits auf
gerade als involutorisch bezeichnet werden fünf beliebigen Parallelstrahkann, geht aus der Tatsace hehrvor, daß auch le n verschoben werden, so verschiebt
im Parallel-Strahlenbüschel involutorische sich der sechste Eckpunkt ebenZuordnung stattfindet, wenn die Schnitt- falls auf einer Parallelgeraden
punkte auf einer beliebigen Transversalen derselben Richtung, welche mit den
des Büschels involutorisch zugeordnet sind. fünf vorigen involutorisch liegt.
Aufgabe 166. Zwei Punktpaare
EE' und FF' derselben Geraden Auflösung. Das dritte Paar Gesind gegeben als Gegenecken be- genseiten muß auf dem Träger t
liebig vieler vollständigen Vier- zwei Punkte X und Y ausschneiseite. Man soll zwei solche Vier- den, welche sowohl zu EE' als
seite heraussuchen, welche dcas- zu FF' harmonisch liegen. Solche
selbe drit te Paar Gegen- Punkte lassen sich aber auffinden
seiten gemeinsam haben. auf Grund der Aufgaben 148 und
Figur 151. 150.EssinddieOrdnungspunkte
C einer Involution, von welcher EE'
/,??~, und FF' Punktpaare sind. Nach;./|/' v deren Konstruktion gibt es aber
D /' \ dann zu jeglichem Viereck
' \ ABCD mit Gegenecken EE' und
/ ^ S \ 13Diagonalpunkten XAC und YBD,"' ', i? \ gleich zweierlei Vierecke mit
j 13^; ^ \\ Gegenecken FF' und Diagonalen
XA'C' und YBD oder XAC und
s' -h ie \n \ i n YB'D' und umlgekehrt.
E X E'\ \\ F\
Erkl. 504. Zur Konstruktion der Punkte X und Y bedient mlaln sich nach
Aufgabe 148 derjenigen beiden Kreise des Kreisbüschels, welche den Träger t
berühren. Möglich ist die Auflösung nur dann, wenn die Punktpaare EE' und FF'
einander nicht trennen, wenn sie also entweder wie in Figur 151 einander ausschließen, oder eines das andere einschließt.