Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben über involutorische Beziehungen am vollständigen Viereck u. Vierseit. 295
Erkl. 501. Der nebenstehenden Auf- einzeln gegebenenen fünften als
lösung kommnen dieselben Vorzüge zu, Verbindungsgerade mit einer
welche in Erkl. 499 über die dualistischen fünften Ecke, und erhält den geAufgaben ausgesprochen sind. Man hat suchten zugeordneten Strahl als
wieder die einfache Zeichenvorschrift: Verbindungsgerade des sechsten
erstes Paar Gegenecken, einzelner Eckpunktes des vollständigen
Eckpunkt, zweites Paar Gegen- Vierseits mit dem Scheitel S.
ecken, sechster Eckpunkt als Gegen- Sind also in Figur 149 von einer
ecke des einzelnen. - Die Möglichkeit hyperbolischen, und in Figur 150
dieser Konstruktion verdient um so mehr von einer elliptischen Strahleninhervorgehoben zu werden; als unter volution die Strahlenpaare ala2 und
den maßgeometrischen Auffassungsweisen blb2 gegeben und zu ce der zugekeinerlei Mittel waren um Strahlenin- ordnete Strahl C2 gesucht, so wählt
volutionen unmittelbar zu konstruieren, man erst ganz beliebig die ersten
sondern alle dort zur Verfigung stehenden zwei Gegenecken etwa auf a, und
Mittel, wie geometrische Proportionale, a2 und verbindet sie mit einem
Kreisbüschel u. s. w., nur die involutorische beliebigen dritten Punkt des gegePunktreihe zum Gegenstand hatten. benen Einzelstrahles cl. Durch die
Und die Winkel-Übertragung aus der so entstehenden Verbindungsgerechnenden Behandlungsweise mit dein raden, welche in Figur 149 und
Produkt zweier Tangentenfunktionen 150 als a4 und b4 bezeichnet sind,
liegt soweit ab von der geometrischen werden bestimmt die beiden auf
Auffassungsweise, daß sie - besonders b1b2 liegenden Gegenecken (b a4)
für die projektivische Geometrie - über- und (b2a4), und diese liefern wieder
haupt kaum in Betracht kommt. als Strahlen durch das erste Paar
Gegenecken die zwei VerbindungsErkl. 502. Auch hinsichtlich der geraden t2 und b3 für die GegenWillkürlichkeit der zur Konstruktion zu ecke des auf ci liegenden Eckpunktes.
verwendenden Stücke sowie des Zu- Der Schnittpunkt dieser zwei Gesammenhanges mit der früheren Kon- raden wird also aus S projiziert
struktion harmonischer Geraden und der durch den zu cl involutorisch zuAufgabe 157 gilt dasselbe, was in Erkl. 500 geordneten Strahl c2.
ausgefülihrt wurde. Eben die willkürliche
Auswahl der Stücke läßt es bei Aufgabe 2) Setzt man die erste Konstruktion
158 und 161 vorkommien, daß jede der der Aufgabe 158 als bekannt vorbeiderlei Involutionsarten, elliptische und aus, so braucht man bloß die gehyperbolisehe, mit irgend einer der Figuren gebenen Geraden von S zu schneiden
64 bis 69 und 70 bis 74 ausgeführt durch einen beliebigen Träger t,
werden kann. So kann der Schnitt des man konstruiert dann zu den entStrahlenbüschels entweder ganz außerhalb stehenden Schnittpunkten den
des Vierseits bleiben, oder innerhalb sechsten Punkt der Punkt - Invoeines der Innenräume desselben zu liegen lution und erhält als dessen Prokommen, je nach der Wahl der ersten jektionsstrahl den gesuchten sechsten
drei Elemente der Konstruktion. Strahl.
Aufgabe 162. Dieselbe Aufgabe zu lösen, wenn die Involution durch
einen Ordnungsstrahl und ein zugeordnetes Punktpaar bestimmt ist.
Aufgabe 163. Warum ist zu Aufgabe 160 keine dualistische Aufgabe
über die Axenstrahlen aufzustellen