Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

24 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
bezw. dessen Nebenseiten durch P gehen. Daher werden nunmehr die Elemenlte
3 bis 6 bezw. III bis VI nicht mehr wie dort speziell, sondern allgemein aufgefaßt.
WäThrend aber dort nur die vereinigte Lage von sechs oder acht Einzelelementen
behauptet wird, sind es hier je nach Lage der Punkte auf p bezw. der Strahlen
durch P - sechsmal unendlich vielerlei Elemente und zwei einzelne Elemente
in vereinigter Lage, d. h. Punkte auf einer Geraden, Geraden durch Punkte.
Erkl. 47. Die sämtlichen Sätze der obenstehenden Antwort 18 sind in ihrer
dualistischen Gegenüberstellung fast gänzlich gleichbedeutend. Das zeigt sich besonders deutlich an den Sätzen 3 und 3a bezw. 4 und 4a. Dieselben sind einzeln
bewiesen in Antwort 8 und 14 bezw. 9 und 15; nach Aufstellung des Satzes 1
aber zeigt sich, daß die Aussagen des links- und rechtsstehenden Satzes den
gleichen Sachverhalt nur in verschiedenen Worten aussprechen. Dies ist in den
Sätzen 4 dadurch zum Ausdruck gebracht, daß eine gemeinsame Fassiunig unter
beide Sätze querüber gestellt ist. - Über die in den Sätzen 3 und 4 auftretenden
Begriffe von ~innerhalb" und ~außerhalb" einer Kurve, verglleiche manl Erkl. 91,
92 und 96a, 107 und 120 des II. Teiles dieses Lehrbuchles. Umgekehrt erfahren
jene früheren Aussagen erweiterte Bedeutung und tiefere Begründung im Li(chte der
hier aufgestellten Beziehungen der Polarentheorie.
Erkl. 48. Auf Grund der in Antwort 16 und 17 besprochenene Übereinstimmung
der Figuren 4, 5 und 7, 8 erscheinen auch die Sätze 2 und 2a als gleichbedeutend.
Man könnte dieselben etwa in der Weise zusammenfassen, daß sie als gemeinsame
Definition der Zuordnungsart von Pol und Polare ausgedrückt werden: D r c h
eine Kurve zweiten Grades werden je ein Punkt und eine Gerade
der Zeichenebene als Pol undPolare in der Weise einander zugeordnet,
daß für Punkte der Polare die Eigenschaften a bis a des Satzes 2 und für
Gerade durch den Pol die Eigenschaften bis d des Satzes 2a in Geltung
treten.
Frage 19. In welchen anderen Bedeutungen können die vorigen
Sätze 2 und 2a ausgesprochen werden7?
Antwort. I. Verschieden gewählten Punkten E und F auf p entsprechen verschiedene Lagen oder Geraden 1 bis 6 durch P, und
verschieden gewählten Strahlen e und f durch P entsprechen v erschiedene Lagen der Punkte I bis VI auf p. Faßt man
die Aufeinanderfolge der verschiedenen Lagen der Punkte bezw.
Strahlen ins Auge, so erhäilt man:
Satz 5. Wird eine einer ge- Sa'tz 5a. Wird um einen einer
gebenen Kurve zugeordnete gegebenen Kurve zugeordneten
beliebige Gerade p von einem beliebigen Punkt P ein Strahl q
Punkte Q durchlaufen, so gedreht, so durchlaufen dabei
drehen sich dabei um den die Polare p dieses Punktes P
Pol P dieser Geraden p (Fig. 9): (Fig. 10):
a) die beiden Diagonalen des a) die beiden GegenseitenVierseits, welches die Kurven- schnittpunkte des Vierecks,
tangenten des veräanderlichen welches die Kurvenpunkte der verPunktes Q als Gegenseiten mit den änderlichen Geraden q als GegenrIangenten eines beliebigen zweiten ecken mit den Kurvenpunkten einer
Punktes auf p bilden; beliebigen zweiten Geraden durch
P bilden;