Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

286 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
unendlich ferne Punkt der Punktreihe, 2) Wollte man nach der rechund so erscheinen dieselben nur durch nenden Behandlungsweise vermetrische Auffassung ausgezeichnet. Daher fahren, so würde man zurBestimmung
sind bei der Strahleninvolution die Ord- der Axenstrahlen die Gleichung
nungsstrahlen xy die einzigen beson- des konstanten Tangentenproduktes
deren Strahlen, welche durch rein geo- ansetzen. Bezeichnet man nämlich
metrische Eigenschaften sich von den < (ua) als 5, < (ala,) als u, (c c9)
übrigen Strahlen auszeichnen. als Y, (aic2) als d, so wäre < (ue2)
= -()_-,< (ua2)- c,(uc) = -(a- ),
Erkl. 487. Der zweite Teil neben- also käme die Gleichung tg ' tg
stehender Auflösung ist keine vollständig (u -:) = tg ( - -) tg (y - 3 +| ). Hieraus
durchgeführte Lösung. Es soll damit wäre S zu bestimmen, dann der
nur gezeigt werden, daß die Aufstellung Potenzwert tg tg (- S ) const.
einer Gleichung mit einziger Un- -tg2(ux) bezw. -tg2(up) zu bilden,
bekannter e möglich ist. Mit dieser und hiernach die Lage der AxenAufstellung einer Gleichung ist dem strahlen u, u' sowie der OrdGrundsatze der algebraischen Methoden nungsstrahlen x, y bezw. der Pogenügt, auch wenn die Lösung dieser tenzstrahlen PlP2 festzustellen.
Gleichung nicht selber durchgeführt wird. Ebenso käme für jeden beliebigen
Es gilt in vielen Problemen der höheren Strahl ei der Winkel (ue2) des zuMathematik als befriedigender Abschluß geordneten Strahles aus der Gleider Untersuchung, wenn nur gezeigt chung
werden kann, daß es überhaupt möglich tg2 (ux) tg2 (up)
ist, die Aufgabe auf die Formulierung tg (ue) g bezw- tg (p ).
tg (ne1) tg (une)
einer Gleichung hinauszuführen. Diese
Formulierung ist in nebenstehender Auf- 3) Weit einfacher aber als beide
lösung erfolgt in genau analoger Weise, vorgenannten Auflösungen ist die
wie in der zweiten Lösung der Aufgabe Verwendung der einfachen Pro138. Es ist daher auch keine weitere jektion. Man schneidet die vier
Ausführung erforderlich, wie sich die gegebenen Strahlen des involutoGestalt der Gleichung ändern möchte je rischen Büschels durch einen Tränach der verschiedenen Lage der Elemente ger t, erhält auf demselben zwei
analog den Figuren 140, 141 oder 142. zugeordnete Punktpaare einer
involutorischen Punktreihe und
Erkl. 488. Aufgaben der analogen konstruiert nach der ersten oder
Art, wie Aufgabe 139 lassen sich zu zweiten oder dritten Auflösung der
jeder der folgendend Aufgaben selbstver- Aufgabe 138 die verlangten Eleständlich ebensowohl aufstellen. Ihre nente dieser Punktin v ol u tion
Lösung erfolgt am einfachsten in der- Die projizierenden Strahlen dieselben Weise wie dort, indem man stets ser gefundenen Punkte sind dann
nach der dritten Art nebenstehender die verlangten Strahlen der StrahAuflösung verfährt. leninvolution. - Man vergl.
hierzu auch die Bemerkung in der
dritten Lösung der Aufgabe 147.
Aufgabe 146. Von einer Strahleninvolution seien gegeben ein Auflösung. 1) Die Auflösung
Strahlenpaar und der eine Ord- dieser Aufgabe für die hypernungsstrahlbezw. Potenzstrahl. bolische Strahleninvolution mit
Man soll weitere zugeordnete Strah- gegebenem Ordnungsstrahl x ist
lenpaare bestimmen. auf rein geometrische Weise