Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

276 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
innerhalb Q2 P liegt, muß wegen der 3) Im ersten Fall kommt aber
gleichlaufenden Projektivität E1 P2 auf dieselbe Seite von M zu
außerhalb QiP1 liegen, folglich wird liegen wie Q1, im zweiten Falle
EL zu demjenigen äußeren Punkt von dagegen P2 auf dieselbe Seite wie
Q1 P1, der diese Strecke im Einheits- B1, also muß auch wirklich Punkt
verhältnis teilt, und das kann nur der P2 auf Q1 bezw. P2 auf B1 fallen,
unendlich ferne sein. Also sind E1 wenn Q2 auf P1 bezw. B2 auf P1
E2 die Punkte F1F2. Sind umgekehrt gefallen war. Da aber die PunktP B1 und B P2 aufeinandergefallen (Fig. paare Pi Q2 bezw. P1 B2 ganz be139f), so findet sich in genau gleicher liebig ausgewählt waren, so ist daWeise (P1 B1 G El) (P2 B2 Gg E2), mit die Grundlage der involutoP1 G P E1i P2 G2 P2E2 rischen Beziehung gewonnen, nämB:: BA''- * lich der
B1G1 'B1E1 B2 G2 B2 lE2
P E1 P G P 2E2 1. Satz: Wenn in zwei auf gleichem
B1 E1 B1 G B2 Es Träger liegenden projektivischen
Da hier E2 außerhalb B2P2 liegt, muß Punktreihen die Gegenpunkte zuwegen der ungleichlaufenden Projek- sammenfallen, so sind je zwei
tivität auch EI außerhalb B P1 liegen, zugeordnete Punkte beider
folglich wird EI wieder zu demjenigen Reihen einander doppelt entäußeren Punkt von P1B1, der diese sprechend, sie bilden eine invoStrecke im Einheitsverhältnis teilt, lutorische Punktreihe.
also zum unendlich fernen Punkte.
Auch hier sind also E1E2 die Punkte 4) Als involutorischen StrahFi F2. lenbüschel definiert man dann
ganz einfach den Strahlenbüschel,
Erkl. 472. Die vorstehende Ueber- durch welchen die sämtlichen einlegung zeigt, daß aus dem Doppeltent- ander doppelt entsprechenden Punktsprechen eines Punktpaares das Zu- paare einer involutorischen Punktsaiimenfallen der Gegenpunkte folgt, reihe projiziert werden. Auch die
und aus dem Zusammenfallen der Gegen- Strahlen dieses Büschels sind dapunkte folgt auf Grund des nebenstehen- durch in der Weise zugeordnet, daß
den Satzes wieder das Doppeltentsprechen je zwei zugeordnete Strahlen
aller Punktpaare. Durch diesen beiderBüschel einander doppelt
Zwischenschluß ist aber auch erst die entsprechen.
Möglichkeit geboten, den in volutorischen Strahlenbüschel, welcher
Strahlen von der Eigenart der Gegenpunkte nicht besitzt, auf dieselbe Grundlage
zu stellen; und damit sind aus der obigen einfachsten Verwandtschaft beiderlei involutorische Gebilde hergeleitet als projektivisch verwandte Gebilde auf gemeinsamem
Träger mitDoppeltentsprechen sämtlicher zugeordnetenElementenpaare.
Aufgabe 138. Von einer elliptischen
oder hyperbolischen Punktinvo- Auflösung. 1) Man kann verlution seien gegeben irgend zwei fahren nach der rein geometrizugeordnete Punktp a are. Man s ch e n Behandlungsweise derFiguren
soll beliebige weitere zugeordnete 47 und 48 S. 100. Man bezeichnet
Punktpaare sowie auch die be- die beiden gegebenen Punktpaare
sonderen Punkte der Involution als Punkte Al B C1 D bezw. A2 B
konstruieren. C2D2 zweier Punktreihen tlt2 auf