Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufg'aben iiber involutorise.he Punktreihen und Strahlenbiisehel. 275
Zusammenfallen voln 31 mit P2 als Folge Gegenstrahl F2 B2 Gs aufgelegt
des Auflegens von B. auf Pl. Der erste wurde. Auf dem nunmehr gemeinFall gibt eine sogen. hyperbolisehe samen Träger der beiden projekP nnktinvolution mit ngleie 1 tivisehen Punktreihen werden im
laufenden projektiviselien Einzelpuinkt- ersteren Falle (Fig. 139vc) je zwei
reihen, der zweite Fall die elliptisch e zugeordnete Punkte stets auf verPunktinvolution mit gleichlaufen - schiedenen Seiten, im zweiten
den projektiviscllen Einzelpunktreihen. Falle (Fig. 139/) immer auf derFigur 139. 4 t
-P2 tZ ME2 42
I_ 6t. - _-____
vM, Bt, t, - f,
Erkl. 471. Aucli der Inlalt des selben Seite des Punktes M[
Satzes 22, durcl welehen die Allgemein- liegen.
heit des Doppeltentsprechcens zur Grundlage der weiteren ULTtersuc geln ge- 2) Nun bilden aber in Figur 138
CD - die P.,acrallelstrahlen f//tt und g // t
macht wird, lß1t sichl aus nebensteheldemdtl e Paraleltr en f // t1 und g // t
Satze herleiten, indelm man von jener mit jeclem der Projektionsstr ahlen
ein Paar von &[hnlichen Dreieken
Voraussetzung aus mnittels des oppel-r hnlichen Dreieke
verhältnisses dies Zusatilenfaellen der mit parallelen Seiten, z B.,
Gegenpunkte als Folgerimlg' naclweist. gt p t fp oder A gtl q t f,,und
~Sinll nändilliehl ldaraus ergibt sich, daß cdasselb e
Sind nätmllch ziiunäcihst die I'naktpaaarerigib dasselbe
Prodtukt G1 5 F, S S das eineinal gleich
Pl Q1 und Pl Q2 so aufeinaind (1 ihergefalle, dsal le
daß Q2 auf l:l und P1, auf Q1 (Fig. 139 a) P i F2 P9, das anderemal gleic,
kani, und es entspricht dabei deml uln endl - G Q: F2,Q2 wird, also auch all e
P r odlkte fieser Art enriander
lielb fernen P'unlkte G der PiktrieiheProdukte dieser Art einande
t2 der Pnlkt GPt i2n t1, s)o frat siel, gleichwerden. Trifft es sich also,
daß beiiii oben verlangten A-rtreinwelcher Punkt von t, demjenigen Pli kt aß )el oben verlangten Aufein
von t2 entspricht, welcler mit G, z- anderlegen der beiden Punktreihen
samminenfällt. Mai nennt diesenl -olfi clie Strecke F 2 auf die Strecke
etwa E, und beweist, daß er mit dem G1 P zu liegen kolmmt (Fig. 139 u)
GegenpInkt F2 zmia unendlich fernen so folgt ausQ GP. FP - G1Q1 F Q
Punkt F1 identiselc ist. Projlektivischl ween Gleicthite des ersten und
sind nämliclh jetzt die Pntgrppen ten ktors auch Gleiheit de
PlQL dPQ, G.E, also Qsindbeiden anderen, namlielh F2 P2
P Q G1(' Et und 1l2 Q2 G, E2, also sind
gleichle Doppelveirh:iltnisse (PIL Q GE:,)= G1 Q1 bezw. MP2, -= MQI. Trifft es
7(I2SGe}8j ^ \-ie sich aber bei der anderen Art des
(P2 GL) 2 2)~, dl ( pd ) Aufeinanderlegens der beidenPunktPLl Gt 1) EI 1E 2 P (o 12 E.2*
- - - 7 2 n- reihen, daß auf die Strecke G1 Pl
Qi G1 QLE1 Q2 G2 2 Q etwa die Strecke F, B. zu liegen
Nnnistabc,-rliierilautAnnahmeanderigiir
N uins aitG2 Iibi 'i ilolatAnahia i del dl iglur konnot (Fig. 1 39 ), so folgt diesmeal
1 39 _G2, 1und P G1- Q E, aus G1 P, F, P., - Gi Bi, B,2 wieder
B>G 2 OO wegen Gleichheit des ersten und
Qi 1 1 P2 E2, also wird das zu suclhende letzten Faktors auch die Gleielheit
P1i EI 1'1 G1. 12 2 i F der beiden anderen, nämlicih F P2
QIEi Qi G' Q2E2 G1 BI bezw. MP9 MB1.:t8