Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iber die konjugierten Durchmesser der. Kurven.. 265
Erkl. 447. Zu den hierliergehörigen zwischen K und der einen AsymnpKonstruktionsaufgaben iber die Hyperbel tote entstehende Strecke als Absind auch zu rechnen die Aufgaben 261 stand zwischen dem Schnittpunkt
und folgende (besonders 266) im II. Teile, mit der anderen Asyniptote und
welehedort konstruiert wurden auf Grund einem neuen Kurvenpunkte an, z. B.
der durch nmaißgeometrisehe Betracltungen in Fig. 136 KA = B1L oder
gefundenen Hyperbeleigenschaften, wäh- KA 2 B L2 oder K AA - B3 Ls.
rend hier rein geometrische Unter- Man könnte ebensowohl K B A 1L1,
suchungen zu den gleichen Beziehungen KB= A2L2, KB3 = A3L, machen;
gefiihrt haben. denn die Lage des Punktes A bezeichnet zweifellos die InnenwinkelErkl, 448 Unter den in Fig. 136 räume der Asymptoten, innerhalb
benutzten Strahlen befinden sieh einige deren sämtlicheKurvenpunkte liegen
besonders bemerkenswerte. Zunächst müssen.
liefert der Strahl KM den centrisch
sysmmetrischen Kurveinpunkt K'. Ferner
liefert der Parallelstrahl zur A-Asymptote den unendlich fernen Punkt eben dieser
Asymptote, und ebenso der Parallelstrahl zur B-Asymptote deren unendlich fernen
Punkt, weil die zugehörige Abstandstreke KA bezw. KB im unendlichen angetragen
werden muiß. Endlich gibt es auchl einen Strahl, dessen Abschnitt zwischen beiden
Asymptoten durch den Punkt K halbiert wird, und dieser Strahl lnuß die vonr
Punkt K an die Hyperbel gelegte Tangente bilden. M.1an findet seine Abschnitte
auf den Asymnptoten durch Verdoppelung der Abschnitte der beiden Parallelstrahlen
zu den Asymptoten, weil diese die Mittelparallelen des von der Tangente mit den
Asymptoten gebildeten Dreiecks sind.
Aufgabe 141. Auf dieselbe Weise eine Hyperbel zu konstruieren
aus den zwei Asymptoten und einer Kurventangente.
7. Aufgaben Uber die Axen der Kurven.
(Zu Abschnitt 2 d.)
Aufgabe 115. Von einer gegebenen
bezw. durch beliebige fünf Elemente Auflösung'. Man konstruiert zubestimmten Ellipse oder Hyperbel nächst nach früheren Aufgaben den
die Axen zu bestimmen. Mittelpunkt der Kurve und einen
beliebigen D urch e s s e r nach Lage
Erkl. 4490 Ist die Kurve vollständig und Größe. Sodann verfährt man
gegeben, so erfolgt die Konstruktion ohne weiter nach Antwort 46 durch den
jede Schwierigkeit. Ist sie durch fiinf H a 1 b k r eis ber diesem DurchElemente bestimmt, so muß der Mittel- messer.
punkt nach Paskal oder Brianchon gefunden werden. Ebenso findet man nach
Paskal den zweiten Endpunkt eines aus gegebenem bezw. gefundelneml Kurvelnpunlkt
cdurch den Mittelpunkt gelegten Dur chlmessers. Aber die Auffindung der Schnittpunkte des Halbkreises mit der Kurve erfordert die Annahmie, daß der Kurvenbogen an jener Stelle gegeben oder durch eine große Zahl von Punkten geniigend
genau gefunden sei.