Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iiber die konjugierten Durchmesser der Kurven. 257
Aufgabe 101. Dieselbe Aufgabe
für die Parabel zu lösen. Auflösiung. Da bei der Parabel
alle Durchmesser parallel sind, so
Erkl. 435. Bei der Parabel sind alle ist die Aufgabe darauf zurückWinkel zwischen Durchmesser und Tan- zufiühren, daß eine Tangente an die
gente vertreten von 90 bis 0, und zwar Parabel gelegt wird, welche mit
wegen der Symmetrie gegen die Kurven- dieser gemeinsamen Durchmesseraxe jeder Winkel zweimal. Die vor- richtung den vorgeschriebenen
stehende Fassung der Aufgabe ist diejenige, Winkel bildet, oder eine Tangente
welche für die Parabel iberhaupt an die an die Parabel zu zeichnen, welche
Stelle der Frage nach den Winkeln kon- durch einen gegebenen Punkt der
jugierter Durchmesser zu treten hat. Ist unendlich fernen Geraden hindurchdie Parabel nicht kontinuierlich gegeben, geht. Diese Konstruktion ist aber
sondern cdurch fünf Bestimmungsstücke für die Parabel nach Brianchon lösfestgelegt, so konstruiert man nötigenfalls bar. Vgl. Aufgabe 295 der Aufgabenzuerst soweit nach Paskal, bis die Kon- sammlung am Schluß des II. Teiles.
struktion nach Brianchon ermöglicht wird.
Aufgabe 102. Eine Kurve zu konstruieren, von welcher gegeben sind Auflösung. 1) Für je zwei
dreibeliebigeBestimmungselemente Kurvenpunkte bildet der geund dazu ein Durchmesser samt gebene Durchmesser die Axe einer
der Richtung seines kon- schiefen Symmetrie, welche
J u g ier t e n. stattfindet in der Richtung des konjugierten. Man erhält also zu jedem
Erkl. 436. Die vorliegende Aufgabe gegebenen Kurvenpunkt einen
bildet eine Anwendung der Afgabe 9 eiten, indem ma dch i
zweiten, indem man durch ihn
indem dort der Polpunkt ins unendliche eine Parllele zr Richtung des konverlegt wird. Man hat also auße den erenDu essers legt, dieselbe.. 'jugierten Durchmessers legt, dieselbe
drei Bestimmungsstücken noch einen Punkt gegeb Drc esser
tn lllt dem gegebenen Durchmesser
nebst dessen Polare. Entsprechend dem zu Schnitt bringt und den AbErgebnis der Aufgabe 9 und der Aufgabe 88 t er Parallelen zwischen
zeigt sich auch hier, daß die Angabe eines Kurvenpunkt und DurchmesserDurchmessers nebst der Richtung shnittpunkt auf der anderenSeite
seines konjugierten stets die Anzahl es letzteren ochals uf e
des letzteren nochmals auf der
der gegebenen Kurvenelemente arallelen antrgt.
Parallelen antragt.
ver dcoppelt. Daher erscheint diese AuLf
gabe auch erst hier unid nicht im vorigen 2) Für je zwei Tang e nten, welche
Abschnitt. Denn der Mittelpunkt als sich auf dem gegebenen Durchsolcher (Aufgabe 88) liefert schon die mnesser schneiden, bildet dieser
Griuppe eines Pnrktes nebst Polare, nicht nebst der Parallelgeraden vom
so aber ein einzelner Durchmesser, da Schnittpunkt in der Richtung des
dieser zwar Pol eines unendlich fernen konjugierten Durchmessers eine
Punktes ist, aber eines unbestimmten, Gruppe von vier harmonischen
solange nicht die Richtung des kon- Strahlen. Man erhält aber auch zu
jougierten Durchmessers, das heißt eben jeder gegebenen Tangente eine
die Lage dieses unendlich fernen Pol- zweite, indem man durch ihren
punktes gegeben ist. Schnittpunkt mit dem gegebenen
Durchmesser eine Parallele zieht
Erkl. 437. Die Konstruktion der Auf- zur konjugierten Richtung und
gabe 9 wird hier ftir einen Punkt be- dann zur letzteren und dem DurchSalhs, Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil. 17