Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

248 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Die Zeichnung ist an Figur 128 der zweiten Kurveinschnittpunkt des
Deutlichkeit halber für ein ziemlich Durchmessers. Dieser letztere aber
großes Bogenstück durchgeüiihrt. Sie liegt bei jedem Kurvendurchmesser
gilt aber, und darin besteht eben ihr in derselben Richtungwie derKurvenwesentlicher Wert, für ein beliebig kleines mittelpunkt, also bei der Ellipse
Stück, wenn man dasselbe nur durch auf der Innenseite des Kurveneine Sekante schneiden und zu dieser bogens, bei der Parabel im Unauf irgend welchemr Wege den Pol kon- endlichen, bei der Hyperbel auf
struieren kann - am ehesten durch An- der Außenseite des Kurvenbogens.
legen der Tangenten in den Sehnen- Und hiernach richtet sich dann
schnittpunkten. auch für den vierten harmonischen
Erkl. 419. Denkt man sich durch Punkt innerhalb der harmonisch geden Mittelpunkt 0 der Strecke PQ teilten Strecke zwischen Berührungseine Parallele zur Sekante p gelegt, so sehne und Tangentenschnittpunkt
muß diese auf jeder der betr. Tangenten- dle Lage diesseits oder jenseits des
strecken von P an die Kurve den Mittel- Mittelpunktes dieser Strecke.
punkt treffen. Man kann daher auch
umgekehrt diese die beiden Tangenten- 3) Hirauserrhält man folgende
strecken halbierende Parallele zur Unter- Lösung der gestellten Aufgabe:
scheidung benutzen. Für die Ellipse Man schneidet den gegebenen
(Fig. 128a) muß sie außerhalb der Kurve Kurvenbogen (Fig. 28) in zwei
verlaufen, für die Parabel (Fig. 12Sb) Schnittpunkten durch eine Semuß sie die Kurve berühren, die ly- ka e und konstruiert deren
perbel (Fig. 128e) muß sie in zwei Pol P. Diesen Punkt P verbindet
Punkten schneiden. Dabei folgt aus den man mit dem Mittelpunkt Q
Durchmessereigenschaften einerseits, daß der Sehne und halbiert die
wenn der Kurvenbogen nicht durch 0 Verbindungsstrecke PQ. Liegt
hindurchgeht, dann die Tangente i nun der Kurvenschnitt punt
K jedenfalls doch zu p parallel sein auf der inneren Halfe der
muß, oder daß wenn umgekehrt die Strecke, so ist die Kurve eine
Mittelparallele zwischen P und p die Elip se, liegt er im MittelKurve berührt, dies nirgends anders punkt, so ist die Iurve eine
sein kann, als im gemeinsamen Mittel- Parabel, liegt der Kurvenpunkt dieser Parallelstrecke selber ud schnittunkt auf der äußern
der Strecke PQ, nämlich im zusammen- Hälfte so ist die Kurve eine
fallenden Punkt -0 K der Figur 128b. Hyperbel. Denn im ersten alle
liegt der zweite 1KurvenschiittErkl. 420. Wenn die MIittelparallele punkt des Durchmessers samt dem
zwischen P und p die Kurve in Kurvenmittelpunkt nach innen, im
zwei Punkten trifft, so haben diese zweiten im unendlichen, im dritten
Schnittpunkte U und V der Figur nach außen.
128 c noch besondere Bedeutungt. Da
nämlich auf jeder Sekante durch P die Polare p den vierten harmolischen
Punkt zu P und den Kurvenschnittpunkten aussehneidet, so nmuß auch auf P I und
PV der Punkt LU und V der vierte harmonische sein zum zweiten Kurlvenschnittpunkt
auf PU und PV. Da aber der eine davon, niimlich eben U und V inm Mittelpunkt
zwischen P und p liegt, so muß der vierte harmonische im unecndlichen liegen;
d. h. in der Richtung' PU und PV liegen die unendlich fernen Punkte der Hyperbel,
oder PU und PY sind die Asymptotenrichtungen, die Hyperbelasymptoten sind die
durch den MIitteilplnkt 1M ocelegten Parallelen zu PI und PV.