Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufg-aben über Dlurihmesser und Mittelpunkt der lKurven. 247
Aufgabe 4-t. Man beweise, daß alle demselben Trapez an- oder eingeschriebenen Kurven einen gemleinsamen Durchmesser, und alle demselben
Parallelogramm an- oder eingeschriebenen Kurven gemeinsamen Mittelpunkt haben.
Aufgabe 85. Man soll ein Erkenn ungsmittel angeben, um zu Auflösung. 1) Die Antworten
entscheiden, ob ein gegebener 1(3 und jl der Frage 39 besagen,
Kurvenbogen einer Ellipse oder daß für irgend eine Sekante der
Parabel oder Hyperbel angehört. Kurve sowohl der SehnenmittelFigur 128.
a. b. c.
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Erkl. 417. Der nebenstehende Satz punkt als auch der Schnittpunkt
ist bereits in Aufgabe 81 und 83 ver- der Tangenten ihrer Kurvenpunkte
wandt worden und in Erkl. 413 aige- auf dem Durchmesser liegen,
kiiündigt. Man kann demselben auch fol- welcher die Polare des unendlich
gende Gestalt geben: Für jede Kurve, fernen Punktes der Sekante ist.
weiche zwei Seiten eines Dreiecks Man kann also zunächst den Satz
in den beiden Endpunkten der aussprechen:
Grundsseite berihrt, ist die Mittellinie des Dreiecks ein Durchmesser. Satz. Die Verbindungsgerade
Der Satz dient zur Auffindung des einesTangentenschnittpunktes
Kurvendurchmessers durch jeden äußeren mit dem Mittelpunkt der zuPunkt, wenn dessen Polare nebst Kurven- gehörigen Berührungssehne
schnittpunkten gegeben ist. ist stets ein Durchmesser der
Kurve.
Erkl. 418. Der zweite Teil nebenstehender Untersuchung bildet für alle 2) Auf solchem Durchmesser
Kurven eine allgemeine Anwendung von schneidet die Berührungssehne als
dem besonderen Falle, welcher in Er- Polare des Tangentenschnittpunktes
klcLrulng 139 für die Parabel bereits den vierten harmonischen Punkt
ausgeinützt wtorden ist. Allgemeine Er- aus zu den beiden Kurvenschnittörterungi der Lage des vierten harmo- punkten des Durchmessers und dem
nischen Punkktes zu zwei festen Grund- Tangentenschnittpunkte. Also ist
punkten bei veränderlicher Lage des umgekehrt der zwischen Berührungsdritten ist bereits bei Einführung der sehne und Tangentenschnittpunkt
harmonischen Beziehung durchgeführt liegende Kurvenpunkt als vierter
wor(den in Antwort 7 des II. Teiles. - harmonischer Punkt zugeordnet dem