Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben über das Polardreieck. 243
R die Seite p des Polardreiseits und die (c, b, f) ausschneiden. Man erhäilt
Seiten d und b des Selnenvierecks. Dann also aus der letztgenannten Tatsache
ist aber festgelegt durch r und p die dritte den Satz:
Seite (q des Polardreiseits, und auch der
zweite konjugierte Punkt auf r ist nicht Satz a. Bringt man in einem
mehr willktiülich, sondern er muß auf q Sehnendreieck eine beliebige Geliegen und mun ß die Diagonalen f und e rade durch den Pol einer Seite zum
des Sehnenvierecks liefern. 3Man kann Schnitt mit den beiden anderen
also letztere entweder dadurch festlegen, Seiten, so erhält man stets zwei
daß man zu Q den konjugierten Punkt P konjugierte Punkte.
konstruiert, oder dadurch, daß man mittels Und als Umkehrung dieser letzten
der Sehnen d und b durch Q die Kurven- Beziehung entsteht der merkwürdige
punkte (de) und (bc) zeichnet und aus Satz:
diesen die Figur vervollständigt.
Satz b. Werden zwei beliebige
Erkl. 410. Die willküirlich gewählte Kurvenpunkte verbunden mit
Gerade durch den Pol der verwandten irgend zwei konjugierten PunkSekante ist in Erkl. 409 an der Figur 124 ten, welche auf einem Strahle
und 127 jedesmal eine die Kurve durch den Pol ihrer Verbindungsschneidende Gerade r. Es kann aber eben- sekante liegen, so sind die Schnittsowohl auch ein Strahl des Poles außer- punkte der entstehenden Verbinhalb der Kurve gewäihlt werden. Geht dungsgeraden stets zwei neue
man nämlich in Figur 124 und 127 nicht Kurvenpunkte.
von A und a aus, sondern von e und E,
so hat man die Figur für die äußere
Gerade p. Ihre Schnittpunkte mit den zwei anderen Seiten des Sehnendreiecks R=-(pa)
und Q =(pd) liefern durch Verbindung mit den Eckpunkten (ea) und (ed) den
Kurvenpunkt (cfb) und sind zwei konjugierte Punkte. Oder wählt man auf p
als Strahl durch den Pol E von e die zwei konjugierten Punkte (pq) und (pr),
so sind deren Verbindungsgeraden mit (ea) und (ed) von selbst solche vier Geraden,
dcaß die Schnittpunkte (ad) und (cb) zu Kurvenpunkten werden missen.
Aufgabe 73. Man soll das Ergebnis der vorigen Aufgabe an- Auflösungo Wirddieunendlich ferne
wenden auf ein Sehnendreieck der Gerade als Seite des SekantendreiH y p e r b el, welches die un e n dli c h ecks benutzt, so sind zwei Eckpunkte
f e r ne S ek an t e als Seite besitzt. die unendlich fernenHyperbelpunkte,
also werden die dorthin laufenden
Erkl. 411. Eine Parallelgerade zu einer Sehnen zu Parallelgeraden der
Asymptote derHyperbel trifft die Hyperbel Asymptoten. Der Pol der unendlich
im unendlich fernen Punkt eben dieser fernen Sekante ist als Schnittpunkt
Asymptote, kann also mit der Hyperbel der Asymptoten der Hyperbelmittelsonst nur noch einen Punkt gemeinsam punkt, jede Gerade durch ihn ein
haben. Liegt dabei der gewählte Ausgangs- Durchmesser, und jedes Paar konpunkt der Parallelgeraden innerhalb der jugierter Punkte liegt harmonisch
Hyperbel, so muß der genannte Kurven- getrennt zu den Kurvenschnittschnittpunkt zu liegen kommen zwischen punkten dieses Durchmessers. Die
deim Ausgangspunkt und dem Schnittpunkt Geraden von solchen konjugierten
der Parallelen mit der zweiten Asymptote. Punkten nach den beiden anderen
Liegt der Ausgangspunkt im Innenwinkel Eckpunkten dieses Sehnendreiecks
der Asymptoten, so muß der Kurvenpunkt sind ebenfalls Parallelgeraden zu
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