Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

240 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Kurve gewählilt werden. Gelt mian inämlich der Lag-, caß sie auf den drei vorin Figur 124 und 127 nicht von A und handenen Tangenten DE, EA, AD
a aus, sondern von E und e, so hat lman die die Schnittpunkte C, B, F einer und
Figur fir den inneren Punkt P. Seine derselben vierten Tangente CBF
Verbindungsgeraden miit den zwei anderen ausschneiden. Man erhält also aus der
Eckpunkten des Tangentendreieeks r =PA letztgenannten Tatsache den Satz:
und q PD schneiden die Seiten ED und Satz a. Verbindet man in einem
und EA in den Schnittpunkten der Tanl- Tangentendreiseit einen beliegente CFB und sind zwei konjugiierte bigen Punkt der Polaren eines EckGeraden. Oder legt man dlurch P als punktes mit den beiden anderen
Punkt der Polaren e von E die zwei Eckpunkten, so erhält man stets
konjugierten Geraden PQ und P, zwei konjugierte Geraden.
so sind deren Sclhnittpunkte mit EA und Und als Umkehrung dieser letzED von selbst solole vier Plunkte, daß teren Beziehung entsteht der merkdie Verbiindungisgeraden AD cnd CB würdige
Kurventangenentn werden mlüssenil. Satz b. Werden zwei beliebige
Kiur ve ntangenten geschnitten
Erkl. 405. Der erste der beidein mit irgend zwei konjugierten Genebenstelhenden Sätze ist der gestellten raden, welche durch einen Punkt
Aufgabe entsprechend aufs Tanglenlten- ihrer Berüihrungssehne gehen,
dreiseit bezogen, 1iman sieht aber sofort, so sind die Verbindungsgeraden
daß der zweite, welcher vom Tangentei- der entstehenden Schnittpunkte stets
dreiseit uniabhängig i h erscheint, die wich- zwei neue Kurventangenten.
tigere Tatsache verzeichnet. Denn der
erste ergänzt die Figur aus Dreieck zu Viereck, der zweite dagegen lehrt zu zwei
Tangenten gleich eine dritte iund vierte hinzuzufinden. Die Durcihfüiiihrung der
nebenstehenden Untersucihung hat in genau gleicher Weise zu geschehen an Figur 124
mit der Ellipse als Kernkurve oder an Figur 127 iit der Hyperbel als Kernkurve oder
etwa mit einer Parabel als Kernkulve. Fiir den vorliegenden Fall ist gerade die
Figur 127 a ngebracht, weil an deren LagebezielhTenl leicht die folgenden Alnwendlngen
der gefundenen Sätze sich anknipfen lassen.
Aufgabe 67. Man soll das Ergebnis g. Da de
voriger Auflösung auf ein solches Da e Asyptoten
Tangentenvierseit der Hyperbel inm unendlichen berühren, so ist die
anwenden, das zwei Asynlptotern Beruhrungssehne der Asyniptoten
enthält. die unendlich ferne Gerade, folglich
sind dann die konjugierten Geraden
Erkl. 406. Denkt man sieh in Fig. 127 durch jeden Punkt von a in Fig. 127
den Punkt A als Asymuptotenslchnittpiiunkt, parallel. Und iman erhält als ersten
so fällt die Selhne a mit der unendlich Satz: Jedes Paar paralleler Gefernen Geraden zusanmmen, folglich liegt raden durch die Schnittpunkte
jeder Punkt von a, also auch R uniendlich der Asymptoten mit einer befern, und die Geraden p und q werden liebigen Tangente ist ein Paar
parallel. Das Polardreieck PQR wird konjugierter Geraden und
zum Parallelstreifen mit (Gr undseite PQ, schneidet die Asymptoten in den
also werden auch die Tangenten in den Schnittpunkten einer neuen T anSchnittpiunkten von PQ parallel und mit gente. Undwerdendiekonjugierten
ihnen auch die Geraden c, RA, RIC. - Parallelgeraden selbständig erzeugt,
Man hat also hier eine teilweise Voraus- so entsteht als zweiter Satz: Irgend
nahlme der Durchmesser- Eigenschaften zwei k on j ugierte P ar a 11 el