Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iber das Polardreieck. 235
Jedesmal wird derselbe Gang der Beweis- kann man also ansetzen a) q (p,
führung entstehen. Auch braucht für r, x, z) Q (P, R. X, Z) und b) q
den zweiten und dritten Teil der neben- (p, r, x, z) \ Y (R, P, Z, X). Hierstehenden Auflösung nicht notwendiger- aus folgt aber c) Q (P, R, X, Z)
weise der dualistische Buchstabe ver- AY (R, P, Z, X). Bringt man hier
wendet werden. Vielmehr kann auch noch den Satz 6b der Erklärung 315
der eine Teil nachweisen, daß die Punkte im I. Teile zur Anwendung, daß
Q, R, X, Y aus P und Z durch projek- eine projektivische Verwandtschaft
tivische Büschel als Kurvenpunkte zweier Gruppen von je vier Eleerzeugt werden, und der andere Teil menten bestehen bleibt, wenn in
etwa, daß p q y z auf r und x projek- der einen Gruppe zweiElementetivische Punktreihen ausschneiden und paare vertauscht werden, so erhält
folglich Kurventangenten sind. man d) Q (P, R, X, Z) Y (P, R,
X, Z). Hiernach werden aber die
Erkl. 396. Die dualistische Durch- Punkte P, R, X, Z erzeugt als
fühiiung nebenstehender Auflösung läßt Schnittpunkte entsprechender Strahaber außer der Vereinfachung des Ver- len zweier projektivisch verwandten
fahrens auch die andere Tatsache er- Büschel mit Scheiteln Q und Y,
kennen, daß, wenn der eine Teil geleistet d. h. P, R, X, Z liegen auf einer
ist, dann der andere gar nicht mehr voll- Kurve zweiter Ordnung, welche
ständig bewiesen zu werden braucht, zugleich die Biischelscheitel Q und
vielmehr aus dem ersten auf Grund der Y als Kurvenpunkte enthält.
Dualität entnommen werden kann. Denn
aus der allgemeinen Polaritätsbeziehung
folgt, daß wenn P QRXYZ die Punkte 3) Bringt man dagegen andereiner Kurve bilden, dann die polar zu- seits jene fünf Strahlen durch Q
geordneten Geraden p qr xyz die Tan- der Reihe nach zum Schnitt mit
genten der zur vorigen Kurve polar zu- irgend einer Seite des zweiten
geordnetenKurve bilden müssen. Man Polardreiecks z. B. mit y, so entkönnte also dein nebenstehenden Satze steht auf y eine Gruppe von Schnittbereits seinen vollen Ausdruck geben, wenn punkten, welche wegen perspektiauch nur die eine der beiden neben- vischer Lage ebenfalls projekstehenden Durchfiihrungen vollständig ge- tivisch verwandt ist mit jener
leistet wurde. Und die beiden Kurven, Strahlengruppe durch Q, nämlich
deren eine durch die sechs Eckpunkte geht, (yr), (yp), y (QX) oder (yz), y (QV),
während die andere die sechs Seiten be- y (QZ) oder (yx). Unter Auslassung
rührt, unterliegen all den Einzelbeziehungen von QYkannman also wieder ansetzen
der dualistisch zugeordneten Kurven. a) Q (P, R, X, Z) / q (p, r, x, z) und
b) Q (P, R, X, Z) - y (r, p, z, x).
Erkl. 397. Will man in Figur 125 Hieraus folgt zunächst c) q (p, r,
sich eine Vorstellung von den beiden x, z) y (r, p, z, x), und unter AnKurven machen, so ist dies besonders wendung desselben Vertauschungsleicht für die von den sechs Seiten Satzes wie oben, d) q (p, r, x, z)
pqr xyz umhüllte Klassen-Kurve, denn y (p, r, x, z). Hiernach werden
diese sechs Seiten bilden deutlich ein die Geraden p, r, x, z gebildet als
konvexes Sechsseit, innerhalb dessen Verbindungsgeraden entsprechender
die Kurve als Ellipse liegen muß. Punkte zweier projektivisch verDie Ordnungskurve durch die Punkte wandten Punktreihen auf den
PQRXYZ dagegen ist offenbar eine Trägern q und y, d. h. p, r, x, z
Hyperbel mit zwei sehr schlanken umhüllen eine Kurve zweiter
Aesten durch PXZ und RYQ. Wo Klasse, welche zugleich die Träger
diese Hyperbel unterhalb X und ober- q und y als Tangenten besitzt.