Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Allgemeine Beziehungen zwischen Pol und Polare. 19
Erkl. 37. In weniger allgemeiner Antwort. Denkt man sich den
Durchführuing kann man die Erörterung Punkt P in Fig. 7 und 8 selbst als
der vorigen und der nebenstehenden K u r v e n p u n k t (etwa zwischen
Antwort vereinigen durch Betrachtung C und D), so fällt von den beiden
der vier etwa im Punkte TII als Ver- Kurvenschnittpunkten der Geraden
bindungsgeraden mit den vier har- e und f je einer selbst in P hinmonischen Punkten A, C, P, V entstehenden ein, und statt des Vierecks entsteht
vier harmonischen Geraden. Nennt man ein eingeschriebenes D r e i e c k
die Gerade nach P für den Augenblick mit doppeltzählendem Eckpunkt
q, so liegen p und q getrennt durch (ef)C= D-P II. Die Tangente
die beiden Tangenten nach A und C; in diesem Eckpunkte wird zur gealso p außelrhalb, rwenn q iinnerhalb, meinsamen Tangente von P an die
p innerhalb, wenn q außerhalb; und sobald Kurve, sowie der unendlich nahe
q mit einer der getrennt bleibenden benachbarten Punkte C (nach III)
Tangenten zusammenfällt, so Lm uß auch und D (nach IV); in ihr fallen also
die Polar e p mit derselben Tangente auch die Tangenten x und y zuzusammenfallen. sammen, wie sich ergibt durch
Heranschieben des Punktes P an
Erkl. 38. Mit der nebenstehenden Ant- die Kurve in Figur 8, bis der
wort sind diejenigen Untersuchungen ab- Winkel der Tangenten x und y ein
geschlossen, wellche ohne Beeinterächtigung gestreckter wird. Von den vier
der Übersichtlichkeit getrennt einerseits für harmonischen Punkten A, C, V, P
die Auffindung des Pols zu einer gegebenen fallen die d r e i letzteren mit P zuG e r a d en, andrerseits der Polaren zu sammen, also bleibt A bezw. B
einem gegebenen Punkt durchgeführt allein als vierter getrennt übrig.
werden können. Hieran schließt sich Demnach fallen von den acht
nunmehr die Feststellung der Identität Punkten I bis VIII die Punkte, II,
von beiderlei Beziehulng, und darauaf V, VI, VII, VIII sämtlich mit
folgt sodann die Aussprache der ge- dem Kurvenpunkte P zusammen,
wonnenen Ergebnisse in Sätzen. und die allein übrig bleibenden I,
III, IV kommen alle auf die
Tangente im Kurvenpunkt P zu
liegen. Daher muß als P o l a r e
des Kurvenpunktes P die
Tangente in P, also seine eigene
Kurventangente, angesehen
werden.
d) Allgemeine Beziehungen zwischen Pol und Polare.
Frage. 16. Welche Übereinstimmung ergibt sich aus einer
Vergleichung der Konstruktion des
Poles zu gegebener Geraden und
der P o 1 a r e n zu gegebenem Antwort. Vergleicht man die
Punkte Lage der Geraden und Punkte,
welche in den Figuren 4 und 5
Erkl. 39. Die nebenstehende Ver- zur Konstruktion des Polpunktes
gleichung der Elemente der Fiigur 4 einer gegebeene G er a d en fiilhrten,