Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

18 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Gerade sich stets beiderseits ins nl- Während einerseits die beiden
endliche erstreckt, so kann sie nie Kurvenschnittpunkte auf e und f
vollständig innerhalb einer Kurve und überhaupt auf j e der S ekante
liegen. Um zu zeigen, daß eine Kurve durch P jeweils eine im Innern
voni einer Geraden geselhnlitten wird, und eine im Äußern der Kurve
genüigt es nachzuweisen, daß diese liegende Strecke abgrenzen, so
Gerade iberhaupt ir g e n e 1 c h e müssen andererseits die anderen
Punkte im Iinnenraum der Kurve besitzt. zu g e o r d n e t e n P u n k t e P und
V auf e bezw. P und VI au f je
Erkl. 35. Wenn die durch P ge- in zweierlei entgegengesetzten
legte Gerade die Kurve s cli e i d e t, Streckenraumen liegen, d. h. jeweils
so bilden die zwei Schnittpunkte zwischen entweder P innen und dann V, VI
sich einerseits eine endliche und anderer- außen (Fig. 7) oder P außen und
seits eine unenidliclle Strecke auf der dann und VI innen. Ferner
Sekante. Es kann dabei die endliche erkennt man, daß dieser Gegensatz
Strecke ilm Innenram und die unendliche auf eder S ek ante eintreten
Strecke uil Außennraum der Kurve i liegen, muß, die überhaupt durch den
ie allgemein bei der Ellipse und Punkt P gelegt werden kann; und
Parabel tund bei solehen Sekanten der ulgekehrt gilt dieselbe LageHyperbel, welche nu r den e i n e Ast eziehung auf entgegengesetzten
treffen. Es kann aber auch die endliche Streckenraumen der Verbindungs
Streeke der Sekante im Außenrauim und geraden für ecden beliebigen Punkt
die unendliche Strecke im Innenrauml der der Polaren, dessen VerbindungsKurve liegen, wenn nämlich eine Hyperbel- gerade mlt P überhaupt Sekante
sekante b e i d e ste trifft. Aber ganz an er Kurve wird. Es eigt sich
unablahäig von dieser Unterschleidung demnach die Erscheinung an Figur
bestehlt ciese Tatsacle, daß wen P auf 7 und 8 als keine zufällige, sondern
dem im Innenraum der Kurve liegenden als elne wesentliche: Fr eien
innetch Punk-t P mu1ß nämlich die
endlich oder unendlich großen Strecken- e ukt nmlch d
teil der Sekclnte e bezw. f liegt, jeden- Polare als Verbindungsgerade lauter
falls der Punkt V bezw. VI auf dem äußerer Punkte V und VI v olläußeren Streckenteil liegt, undi umi- s t n d i g a u ß e r h a 1 b d e r
gekehrt letzteerr auf der Innelnstreclke K u r v e verlaufen; für einen
wenn P auf del Aßenstrecke liegt ußere n Punkt P aber muß die
Polare die Kurve sch neiden,
denn jede durch diesen äußeren
Erkl. 36. Das Ergebnis vorstellender Punkt P gezogene Sekante der
Antwort wird in seinem zweiten Teile Kurve trifft die Polare in einem
ganz selbstverständlich dlurch das Auf- Punkte innerhalb der Kurve.
treten der Berührungspunkte VII und VIII
auf den ftir einen ä i ß e r e n Punkt P
vorhandenen Tangenten x und y, da deren
Verbindungsgerade stets eine S e k a n t e
der Kurve sein muß. Jedoch bleibt es
wichtio, für die allgemeine Beziehung
den Beweis zu liefern, statt für jeden
Einzelfall getrennte Durchfiührung aufzustellen.
Frage 15. Welche Veränderung erfahren die Fig. 7 und 8, wenn der
Punkt P sellst ein K u r v e n p u n k t wird.?