Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

234 Pfojektivisehe (neuere) Geometrie. III. Teil.
(59) drei beliebige Kurven- fernen Punkt bedeutet. Diese
punkte und eine Asynip- vier Kurvenpunkte liefern ein
totenrichtung, Sehnenviereck, also ein Polardrei(60) zwei beliebige Kurven- seit, und dieses zusammen mit der
punkte und beide Asymp- gegebenen Tangente ein Tangententotenrichtungen. vierseit, also drei weitere Tangenten.
Das Sehnenviereck hat im ersten
Man soll drei weitere Tangenten Fale e Eleent i Unendlichen
Falle kein Element im Unendliehen,
derselben konstruieren.
im zweiten Fall eine Ecke, nach
Erkl. 394. Für alle Aufgaben deri welcher parallele Seiten führen, im
Art 47 bis 49 und 55 bis 60 gilt der dritten Falle eine Seite samt deren
Vorbehalt, daß überhaupt aus den ge- zwei Ecken
gebenen Stücken die Kurve konstruierbar
ist. Denn es kann vorkommen, daß
zwei, eine oder keine Lösung entsteht. Entscheidung hiertber erfolgt erst im Abschnitt iber Involutionen an den Kurven. Bei denselben Aufgaben ist hier keine
vollständige Konstruktion möglich, weil trotz der aufzufindenden acht Elemente
keine zwei sich in vereinigter Lage (PT) befinden.
Aufgabe 61. Die Beziehungen zwischen zwei Polardreiecken derselben Kurve sollen festgestellt werden.
Auflösung. 1) Sind PQR und
Figur 125. YP / XYZ in Figur 125 zwei Polardrei~\ z/q ecke zur gleichen Kurve, so ent~\ ~qYJ;,l stehen auf einer Seite q des einen
Dreiecks die fünf Schnittpunkte mit
/ \ v- / / den übrigen Seiten (qp)-R, (qr)
i/ W^P p -=P, (qx), (qy), (qz). Zu jedem
dieser auf der Geraden q liegenden
/ //N | Punkte enthält die Figur auch die
[/ y/ /V Polare, nämlich die fünf durch
/ // / den Pol von q gehenden Geraden
// / QP r, QR p, QX, QY, QZ. Und
// \ \ nach dem Satze 8a muß die Gruppe
[ rqz 77] A Z \ly der letztgenannten Geraden p r o j e k-- ~ tivisch verwandt sein mit der
\ Gruppe des erstgenannten Punkte.
2) Verbindet man nun einerseits
[ffx7^Q — -..-. jene fünf Punkte auf q der Reihe
nach mit irgend einem Eckpunkt
Erkl. 395. Statt auf der Seite q die des zweiten Polardreiecks,
Schnittpunkte mit den fünf übrigen z. B. mit Y, so entsteht in Y eine
Seiten bezw. im Punkte Q die Ver- Gruppe von Projektionsstrahlen,
bindungsstrahlen nach den fünf iibrigen welche wegen perspektivischer Lage
Eckpunkten zum Beweise zu verwenden, ebenfalls projektivisch verkönnte man auch auf jeder anderen Seite wandt ist mit jener Punktgruppe
p, r, x, y, z die Seitenschnittpunkte auf q, nämlich YR, YP, Y (qx)
und in jeder anderen Ecke P, R, X, Y, Z oder YZ, Y (qy), Y (qz) oder
die Eckenverbindungsgeraden verwenden. YX. Unter Auslassung von (qy)