Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

228 PProjektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Untersuclhung wriide man zuniäclst die Demnach müssen die Verbind ungsbeiden Einzelsätze aussprechen: Liegeni geraden RH und RI a:uf derselben
zwei Eckpunlktc eines Tangenten- Geraden c durch P liegen, d. h. die
dreiecks a uf zwei Seiten eines drei Seiten desSellendieiecks abc
Polardreiecks, so muß die dritte gehen durch die d(rei IEc kEcke jenes auf der dritten Seite punkte des Polardreiecks.
dieses liegen. - Gehen zwei Seiten III)Manerhältalso denDop eisa tz:
eines Sehnendreiecks durch zwei
Eckpunkte eines Polardreiecks. so Satz. Man kann einer Kurve bemu1ß die dritte Seite jenes durlch liebig viele Dreiecke unmshreiben,
die dritte Ecke dieses gehen. deren Ecken auf den Seiten eine,.
Nach Satz 10 ist nun das Polardreieck PolarTeiecks liegen, und beliebig
PQR kollinear sowohl mit deim Tangeiiten- viele Dreiecke einschreiben, deren
dreieck ABC als mit dem Sehnendreieck Seiten durch die Ecken eines Polarabc. Es miüssen also auf einer Geraden dreiecks gehen. Jede Tangente der
liegen sowohl die Schnittpunkte (hp) (iq) Kurve kann als eine Seite für ein
(kr) als auch die Schnittpunkte (ap) (bq) Dreieck der ersteren, jeder Kurven(Cr), und es müssen durlclh einen Punikt punkt als ein Eckpunkt für ein Dreigeehen sowohl die Verbindungsgeradel eck der letzteren Art auftreten.
AP, BQ, CR als auch die Verbinducngs- IV) Nun kann aber Punkt R als
geraden HP, IQ, KR. Der erstere Schnitt- Eckpunkt beliebig vieler Polardreipunkt als Pol der erstgenlannlten Ge- ecke und ebenso r als Seite beliebig
raden, wmelche die KurvTe schneidet (siehe vieler Polardreieckeerscheinen,wenn
Figur 123), liegt außerhalb der Kurve, nur P und Q zwei konjugierte Punkte
der letztere Schnittplunkt liegt innerhalb aufr,bezw.pundcq zwei konjugierte Geder Kurve als Pol der letztgenannten raden durch R sind. Daher gilt jener
Geraden (und zwar diese beiden nahe der Satz nicht nur für die Schnittpunkte
Peripherie der Kurve). Denn laut Satz 10 der beliebigen Tangente k mit p und
Imuuß das Polardreieck kollinear sein q, sondern mit allen Paaren konsowohl mit jedem der Kurve umge- jugierter Geraden durch R, denn jedes
sehriebenen und dem Polardreieck Paarderselbenbildet mit ReinPolareingeschriebenen Dreieck als auch dreieck. Und ebenso gilt der Satz
mit jedem der Kurve ein ges chri e- nicht nur fir dieVerbindungsgeraden
benen und dem Polardreieck um- des beliebigen Kurvenpunktes K mit
geschriebenen Dreieck. P und Q, sondern mit allen Paaren
konjugierter Punkte auf r, denn jedes
Erkl. 384. Die im vierten Teile neben- Paar derselben bildet mit R ein
stehender Untersuchung bewiesenen Sätze Polardreieck. Daher erhält man
bringen die merkwücrdige Beziehung, daß folgende zwei Erweiterungen des
nicht nur einfach unendlich viele, sondern obigen Satzes:
doppelt unendlich viele Elemente
mit Seiten bezw. Ecken des Polardreiecks Stza. Bringt man beliebige
vereinigt liegen, liefern also eine höchste Tangenten einer Kurve zum Schnitt
Stufe der Merkwüirdigkeiten von Pol und mit beliebigen Paaren konjugierter
Polare. Denn im Satz a gibt es ersten Geraden eines festen Punktes R, so
zu den konjugierten Geraden p und q je lieferndie zweiten Kuventangenten
unendlich viele Tangenten wie h oder 1 aus Jenen beiden Shnittpunkten als
oder k, und zweitens zu einer einzelnen ditten Schnittpunkt stets einen
dieser Tangenten unendlich viele Paare Pnkt r d
konjugierter Geraden wie p q durch R.
Und im Satz b gibt es erstens zu den Satz b. Verbindet man beliebige
konjugierten Punkten P und Q je unendlich Kurvenpunkte mit beliebigen Paaren