Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

222 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Geraden abedp in Figur 121 ein Finf- erhalten, verbindet man in Fig. 120
seit. Und die dualistische Gegenüber- P mit zwei von den vier vorhandenen
stellung beider Figuren liefert dieselben Punkten, etwa mit A und B, und
Ergebnisse wie die Betraclhtungc des Fünf- beachtet die Strahlengruppen AB,
ecks und Fiinfseits etwa in Figur 42 und AC, AD, AP und BA,, B BD, BP.
43 oder Figur 44 und 45 des ersten Teiles Konstruiert man dann auf den Gedieses Lehrbuehles. Währecnd aber dort raden a und b der Figur 121 einen
die füinf Elemente jedesmal vollkommen vierten Punkt so, daß die Punktwillktirlich gewählt waren, sind jetzt nuir gruppe (ab) (ae) (ad) (ap) projektivisch
vier Elemente beiderseits willkiürlich, wird zur Strahlengruppe AB, AC,
das fünfte nuir noch in der eilne von AD, AP, und die Punktgruppe (ba)
beiden Figuren. -- In der Sprache der (bc) (bd) (bp) projektivisch zur
analytischen Geometrie, wo jeder Punkt Strahlengruppe BA, BC, BD, BP,
zwei unabihän,-gige Koordinaten hat und - so wird auch die Verbindungsebenso jede Gerade zwei willkürliche gerade p der Figur 121 projektivisch
Konstanten (vgl. Erkl. 85), hätte many von verwandt zuim PunkteP der Figur120.
Figur 120 zu Figur 121 eine Trans- - nd in gleicherWeise müßte jeder
formation mit aclht willkirlichen Kon- weitere Punkt oder jede weitere Gestanten.' Und diese Anzahl bleibt dieselbe rade beider Figuren an die vorbei Erweiterung der beiden Figuren zum handenen Elemente angeschlossen
Fünfeck, Seclseck u. s. w. bezw. zuml Füinf- werden.
seit, Sechsseit u. s. w., während diese
Konstantenzahl bei der allgemeinen Auswahl der beiderseitigen Elemente sich
unbegrenzt steigern müßte.
Aufgabe 38. Man soll dieselbe Aufgabe für die Figuren 118 und
119 durchführen.
Aufgabe 36, Es sollen zwei
dualistischeFigurenin derBeziehung Auflösung. ) Ist die Kurve als
hergestellt werden, daß sie als polare vollständig gegeben anzunehmen,
Figuren zu einer Kurve erscheinen so hat man dieselbe Aufgabe wie in
müssen. Aufgabe 24 zu lösen durch Konstruktion des polaren Elements zu
Erkl. 374. Während man in Auf- jedem einzelnen Figurenteil.
gabe 34 bezw. 35 stets vier Elementen
der einen Figur vier willkülice Eletmente In Iest die brve, sonde r nuder anderen Figur zuordnen durfte, kann nuierlch gegeben, sondern nur
b durch füinf Eileniente bestin-init von
hier die Anzahl der willkürlichen Elemente durch fiTuf Elemente bestim t vo)n
nicht größer sein, als die Anzahl der der Art TTTTT, TTT(TP), T(TP)(TP),
Bestimmungsstücke einer Kurve. Denn (TP)(TP)P, (TP)PPP, PIPPPP,so wird
durch Festlegung der Kurve ist ja auch diselbe Auflösung ermöglicht durch
b b ~~~die Aufgaben 14 bis 16 bezw. 18 bis
dieeindeutigeBe lziehulunterallenPunkte 14 6 bez 18
und Geraden der Ebene festgelegt. In 20 in eirfacher Anwendung oder
der Ausdrucksweise der analytischenl durch zweimalige Anwendung derGeometrie erscheint diese Reduktion der selben Konstruktion nach Aufgabe 22
willkürlichen Elemiente a's Tberfillung bez. 23.
der Transformation mit 8 willkürlichen III) Liegt eine gegebene oder beKonstanten in eine solche mit bloß 5 willkir- stimmte Kurve überhaupt nicht vor,
lichen Konstanten, nämi-licli ebenso vielen, so ist die allgemeinste Lösung der