Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben über polare Figuren. 219
Satz ul. Satz u2. Satz il. Salz i2.
Bewegen sich zwei veränleriliche Tanglente eeen sich zwei verlinderliele Kurveneines Keg'elsellhitts so, punkte eines Kegelselnitts so0
daß die Berliirungs- daß illr Schnittpunkt daß ilhre Verbin- daß die Kurventansehne ihres Schnitt- irgend einen zweiten dungs - Gerade stets g'entenindiesenPunkpunktes stets irgend Kwegelselhitt durhel- Tangente irgend ten einander stets auf
einen zweiten K'tegel- 1,iift, so,beriihrt ihre eines zweiten Kegel- irgendeinem zweiten
schnlitt berhiillt, so 0Beriiungs-Selne schnitts ist so seChnei- Kegelschlitt durchldurhllluftihSclllI nitt- stets einen bestimm- den die Tangienten schneiden, so berührt
punkt einen bestimm- ten diitten Kegel- i jenen Krvenl- die Verbilndungsten dritten Kegel- sclnitt. punkten einander gerade jener beiden
schnitt. stets auf einem be- liKurvenpilnkte stets
stimmten dritten einen bestimmten
Keegelschliit. ldritten Kegelsehnitt..Erkl. 368. Wird die polare i)bertragung e iner Kurve erweitert zur Betlrachtung
der Polartigur zur Ge (samii tfigul zw eier Kurven, so findet mana, daß dieser Gesamtfigur wieder die G-esaimtigur zweier Kegelsshnitte entsprechen muß, und zwar dergestalt, dlaß den gemeinsamen Tangenten der beiden ersten die gemeinsamen Kurvenpunkte der letzteren, und lumniekehrt den gemeinsamen Schnittpunkten der ersteren
die genmeinsamen Tiangienten der letzteren entspreclhen. Sind von den Elementen
der einen Art etwa wegen der besonderen Lag'e der Kurven keine vorhanden, so
köilnen auc ellon den entsprecehendlen gemeinsamen Eleimenten keine Tvorhanden sein.
Jedenfalls elrkennt man, dalß die Belhandlung der geineinsamenT Tangenten zweier
Kurven auif dieselbe Art von Untersuiiiung füiihrt, wie die Behandlung der gemeinsamen Schniittpunkte zweier anderenl Kegelselhnitte, daß also jedenfalls aueh die
Anzalhl gemleiisamier Tangenteii und die Anzahl genieinsamer Selhnittpunkte zweier
Kegtelselhnitte sich in gelnau gleiehen Grenzen bewegen imuß, nilmlieh zwischen 0 iund 4.
A-fgabe 31. Man soll das Ergebnis der Erkl. 368 an zwei Kreisen
nachpriifen.
Aufgabe 32. Man soll die polare
Übertragung allgemeiner Kurven Auflösung. Unter Klassenzahl
n-ter Klasse bezw. — ter Ordnung eines Strahlenbüschels allgemeinster
in ihren Grundzigen aufstellen. Art versteht man die Höchstzahl der
Strahlen dieses Büschels, welche
Erkl. 369. Eine K verve kann man durch einen Punkt gehen können;
sieh stets vorstellen als Punktreihe ihrer unter Ordnung szahl einer PunktKur venpuinkte oder als Str ah l e nb ii s c h e l reihe allgemeinster Art versteht man
ihrer Tangiienten. Dabei brauehlt aber imi die Höchstzahl von Punkten dieser
allgeeeinen durchaus nielht die Or dnun g' s- Punktreihe, welche auf einer Geraden
zahl dieser Punktreihe.die gleiehe zu liegen können. Wird also die eine
sein wie die Klassen zahl dieses Strallen- oder andere dieser beiden Figuren
bischiels. Nur bei den lKegelselhnitten, polar ibertragen inbezug auf einen
und bei keineni Kurven hiiiheren Grades, beliebig gewählten Kegelschnitt
gilt diese einfache Be3ziehunlg, cdaß Olrdnungis- als Fundamentalkurve, so werden
zahl und Klassenzahl gleiehzeitig gleieh Punktreihen zu Strahlenbüscheln
zwei sein miissen. Sonlit kanni man also und umgekehrt, die durch einenPunkt
haben eine Kr ve von n-ter Klasse und gehenden Tangenten zu Punkten,