Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

218 Projektivische (neuere) Geometrie. III. eil.
und der letzte Eckpunkt der fünften Sechseckseite als Verbindungsgerade
eine sechste Seite liefern, welche durch den dritten Punkt jener Tangente
geht. Nun bilden aber die schon vorhandenen sechs Kurvenpunkte ein
eingeschriebenes Sechseck, folglich nmuß die sechste Seite die dritte in
einem Punkte derjenigen Geraden schneiden, welche den Schnittpunkt
der ersten und vierten mit dem Schnittpunkt der zweiten und fünften
verbindet. Demnach muß auch die Figur sich von selbst in der gewünschten
Weise schließen. Und beim polaren Sechsseit gehen dann die polar zugeordneten Nebenseiten durch den Polpunkt der Tangente, also durch
deren Kurvenpunkt.
Aufgabe 30. Man soll in anderer
Weise als in Antwort 23, 4 bezw. Auflösung. 1) Es ist eine durch
Erkl. 79 beweisen, daß die polare die Sätze von Paskal und Brianchon
Figur eines Kegelschnitts wieder festgelegte Eigenschaft der Kegelein Kegelschnitt werden muß. schnitte, daß in jedem eingeschriebenen Sechseck die SchnittErkl. 366. In der nebenstehenden punkte der Gegenseiten auf einer
Weise wird die Beweisfütirung geleistet Geraden liegen, bezw. daß in jedem
von Steiner, und das Ergebnis wird von ihm umgeschriebenen Sechsseit die Diaausg'esproclhen in dein allgemleinen Satz: gonalen durch einen Punkt gehen.
Hat man nun eine Punktreihe,
Satz. Wenn in einer Ebene sih irgend fürii deren Punkte die erste Eigenz w e i K ee s ehnitte befinden, so schaft jedesmal erfüllt ist, so muß
liegen die den Tangenten des zweiten durch die Polarität ein Strahleniiibezug auf den ersten zugeordnceten Pol- büschel entstehen, für dessen
pun kte in einemi bestimmten dr itte n Strahlen die zweite Beziehung jedesKegelschnitt, und es berühren die mal erfüllt ist, und umgekehrt.
den Punkten des zweiten zugeordneten Folglich kann eine Kurve zweiter
Polargeraden einen und denselben Ordnung stetsnurwieder einerIKurve
dritten Kegelsschnitt, und zwar der- zweiter Klasse entsprechen - und
gestalt, daß jeder Tangente und ihreml umgekehrt. Da aber Kurven zweiter
Berhiirungspunlkte des zweiten Kegel- Ordnung und Klasse identisch sind,
sehnitts ein bestimmter Punkt und dessen so muß auch die Polarfigur eines
zugelhörige Tangeiite im dritten Kegel- Kegelschnitts wieder ein Kegelsehnitt entspricht. schnitt sein.
2) Unter Berüicksichtigung der
Erkl. 367. Unter den weitgehenden 2) Unter Bercksichtigung der
*. 37.,8, i.-i eben genannten Identität zwischen
Anwenclgeidun welche von der vorliegenden Ordnun nd lasse
-., 1 Kurven zweiter Ordnung und Klasse
allgemeinen Beziehung gemacht werden
kni hierein St erw.nt folgt die verlangte Beziehung außerkOineni, mnige hier ein Satz erwahnt
dem auch alsganzbesondererSpezialwerden, welcher von Brianchon zuerst
clell1~ ele+ 4lfall aus demn in der folgenden Aufausgesproehen wende mnd wele:her~ a-)
ausgesprochi wde ud welcher' ab- gabe 32 abgeleiteten allgemeinen
gesehen von seinem mit demii vorlhergehenden VOllSatze ge z identIs n ii Satze iiber Kurven n-ter Klasse
gehenden Satze geradezu identischllen In- Ordnung.
bezw. mk-i-ter- Oridnurng.
halt (da die Bertiührungisshnen l e iiund -
Taingentensciihnittpunlkte polar zugeordnet
sind), auch die Merkwüriidigkleit aufweist, daß auf vierfache, je paarweise
dualistische Ausdruckswreise stets nur derselbe lnhlalt des Satzes in einer veränderten Auiffassungsweise erscheint: