Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iber polare Figuren. 217
polare Element eines Kurvenpunktes seine Tangente ist, so ist die
verlangte polare Figur das Sechsseit derjenigen Tangenten, welche den
Kreis in den Eckpunkten des eingeschriebenen Sechsecks berühren. Dabei
werden nicht nur die Ecken und Seiten beider Figuren polar zugeordnet, sondern auch die Diagonalen bezw. Nebenseiten des Sechsseits zu den Nebenecken
des Sechsecks, also der Schnittpunkt etwelcher Nebenseiten des Sechsseits
zu der Verbindungsgeraden der entsprechenden Nebeneeken des Seehsecks.
Man erhält so aus dem Satze von Paskal (1640) den Satz von Brianchon
in derselben Weise, wie der letztere s. Z. ursprünglich von Brianchon
(1806) aufgestellt wurde.
Aufgabe 28. Dieselbe Aufgabe für die Sätze vom Fünfeck und Fünfseit durchzuführen.
Aufgabe 29. Man soll den
besonderen Fall konstruieren, K H
daß der Punkt von Brianchon / I
und die Gerade von Paskal ver- Y x
einigte Lage erhalten. ~ -. -
Erkl. 365. Da die Sätze vOon E s 1 S
Paskal urspriinglich am Kreise auf- Y, I \ Z
gefunden wurden, und erst durlt ch
Projektion des Kreises auch als Eigenschaften der Kegelschnitte festgestellt
wurden, so entspricht es der geschiehlt-
liehen Entwicklulng, daß auch die
vorliegende Figur am Kreise ldurchgefiihrt wurde. Iii Figur 1 17 ist die ver- N
langte Besonderheit durch Siymmetriebeziehungen hergestellt; es ist nämiilich Fig.
von den in nebenstellendlcr Auflösung genannten drei Punkten der Tangente der Auflösung. Man munß dafiir
eine im unendlichen, die aindern beider- sorgen, daß die Nebenecken des einseits gleichweit vo l Berührungspunkt ge- geschriebenen Sechsecks auf einer
wählt. Daler werden auch die Seiten im Kurventangente liegen, bezw. daß die
Sechseck sowie jene des Sechsseits in symi- Nebenseiten des ungeschriebenen
metrischler Anordnung erscheinen müssen. Sechsseits durch einen Kurvenpunkt
(Die zum unendlich fernen Punkte Z polare gehen. Ist das eine erreicht, so folgt
Diagonale MI des Sechsseits wird zu einem das andere von selber. Zum ersteren
Kurveldurclhmesser.)-Die nebenstehende Zwecke,wählt man auf einer beAuflisung, und ebenso deren dualistisehe liebigen Kurventangente drei beÜbertvragung durch Auswahl dreier be- liebige Punkte, legt durch den ersten
lieb igen Geraden durch den Beriiihrungs- die erste Kurvensekante als erste
punkt P gelten aber selbstverstindlich Sechseckseite, durch den zweiten die
nicht nuir fiir den Kreis, sondern auch zweite, den dritten die dritte, dann
fiür jede andere Kurve, sie sei Ellipse, wieder durch den ersten Punkt die
Hyperbel oder Pa'rabel. vierte, durch den zweiten die fünfte
Sechseckseite. Dann fragt es sich,
ob der erste Eckpunkt der ersten