Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iiber Pol und Polare. 213
liefern, sondern ebenso auch qt q3. auf der Polaren, und die Polare
Wollte man in Figur 114a, MTo vier liefert als Kurvenschnittpunkte die
Sekanten q eingelegt sind, alle verfüg- Berührungspunkte der gesuchten
baren Schnittpunkte der Verbindungs- Tangenten. Figur 114a zeigt dies
geraden aufzählen, so kiäme man auf zu- für Sekanten durch eine Ellipse
sammnen 12 Punkte. Denn jedes Paar oder Parabel oder durch je einen
(l127 qi 3, 1 qi, 4 q (2 <4, q3 - liefert zwei und denselben Ast einer Hyperbel,
solche Punkte auf der Polaren p. Und indem alle drei Sekanten denselben
in Figur 114b, wo drei Sekanten q vor- Ast treffen oder auch eine zweimal
liegen, sind es noch immer sechs solcher den einen Ast, die zwei andern je
Punkte. zweimal den andern Ast. Figur
Erkl. 357. Es könnte als Wider- 114b dagegen zeigt die Tangentenspruch erscheinen, daß in der vorher- konstruktion bei der Hyperbel,
gehenden Auflösung 11 die Tangenten wenn eine oder zwei der Sekanten
aus P zur Konstruktion der Polaren zu P beiderlei Aeste der Kurve treffen.
und in der nebenstehenden Auflösung 13
umgekehrt die Polare zu P zur Kon- Figur 115.
struktion der Tangenten aus P verwendet
wird. Der Unterschied liegt aber nur in
der Auffassungsweise bezw. in der Art
der an der Zeichnung vorhandenen ',
Figurenteile oder der zur Bestimmung derl /..
Kurve dienenden Elemente. Für eine
nur durch einzelne Bestimmungssticke
festgelegte Kurve ist die nebenstehende -
Lösung durchaus ungeeignet, vielmehr
gilt dieselbe ausgesprochener Maßen nur
dann, wenn die Kurv e kontinuierlich
gezeich n e t vorliegt, also gewissermaßen
unendlich viele Elemente derselben vorliegen. -Der Fall einer kontinuierlich
gegebenen Kurve liegt besonders einfach bei einem mit Zirkel ausgezogenen Kreise
in der Planimetrie. Dennoch aber ist die Planimetrie nicht imstande, das einfache
Mittel dieser linearen Konstruktion zu bieten (Figur 115), ohne ihrerseits die Anleihe zu machen bei der projektivischen Geometrie, daß nämlich die Lehre von
Pol und Polare für die Kreislinie selbständig aufgestellt mud als Anwendung dann
die vorliegende Konstruktion ermiöglicht wird.
Aufgabe 14-16. Eine Kurve sei
bestimmt (14) durch fünf Tan- Auflösung. Bezeichnet man durch
genten oder (15) durch vier Tan- E und F die Schnittpunkte der
genten und den Berührungspunkt Geraden p mit irgend zweien der
auf einer derselben oder (16) durch gegebenen Tangenten, so kann man
zwei Tang enten und die Be- nach Brianchon durch E und F die
rührungspunkte auf zweien der- jeweilige zweite Tangente an die
selben. Kurve konstruieren. Dadurch erhält
Man soll den Pol einer beliebig maneinTangentenvierseitderKurve,
gegebenen Geraden p konstruieren. dessen eine Nebenseite p ist, und der
Erkl1. 358. Wenn eine Kurve bestimmt Schnittpunkt P der beiden anderen
ist durch fiinf Elemente, unter welchen Nebenseiten ist der Pol zu p.