Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Brennpunkts-Eigenschaften der Kurven zweiten Grades. 197
aaehlt werden. NMan erkennt daß -- sobald man sich in der projektivischen
Geometrie clazu bequeiien will, jene metrisehe Schlulßfolge aufzunehmen - alsbald
ebenfalls diese inetrischen Beziehungen der Kurven erhalten werden können, und
zwar als Ausdruck der M3aßeigenschaften der orthogonalen Strahleninvolution der
Brennpunkte. Bemerkt sei noch, daß Satz 37 ftir die Parabel nur deswegen ausfällt, weil dieselbe ebenso wie in Satz 36( eine Zwischenstufe darstellt. Wie nilieh zwischen F>1 lund e<1 der Zwischenwert fiür die Parabel -==1 -wird, so
fallen die Werte von FP F'P ncl FP- F'P fii die Parabel zusalmmen, weil
eben der eine Brennpunkt unendlich fernliegt, sodaß Addition oder Subtraktion des
endlichen Wertes F'P zum unendlich großen FP keine Aenderung bewirkt. Man
kann also der Parabel die Eigenschaft zuschreiben, daß sowmohl Sumnie als Differenz
der Fahrstrahlen eines Kurvenplunktes von ihren beiden Brennpunkten lkonstanten
Wert hlabeni, iinämlich einen unendlicl großen.
-F1'rage 80. Wie findet man
iPunkte, denen inbezug auf eine Antwort. 1) Punkte der Ebene,
Kurve zweiten Grades eine gleich- welchen in Bezug auf eine Kurve
seitig hyperbolische Strahlen- zweiten Grades eine gleichseitig
involution der konjugierten hyperbolische StrahleninvoluGeraden zugehört'? tion der konjugierten Graden
Fi r 102. zugehört müssen zwei senkrechte
Tangenten an die Kurve besitzen,
|il _ - also jedenfalls außerhalb der
~ - Kurve liegen. Solches findet sich am!\ I[ / einfachsten bei der Parabel. Denn
V \PX / in Fig. 99 und 102 ist für die vom
I / lPPunkte D der Leitgrade f ausgeu~ /' / lrhenden Tangenten DP unnd DQ mit.\.-... \/ Berührungssehne PQ nach Satz 36 F P
A -4-:\k —;_^-.-_ — P PG und F Q =QL, und -nach Satz
f/ 13 \ 33 werden die Winkel bei P und Q
7 i\ /toldurch DP und D Q halbiert, folglZ- eh lich sind sowohl einerseits P und D, 7 Gi\ iPunkte auf der Mittelsenkrechten von! ä\ 1~F G, als anderseits Q und D Punkte
der Mittelsenkrechten von FL. Daraus folgt aber die Gleichheit der
Erkl. 338. Füiir die Leitgerade der Winkel PDG —PDF/ 1FDG und
Parabel erhlilt iman imi nebenstehenden QDL-QQDF- /2FDL, und dca die
eine Eigenschalit, weelele bei Ellipse und ganzen Winkel einen gestreckten
Hyperbel nicht einer (eraden, sondern WTinkel bilden, so bilden die Hälften
einem Kreis zukommt. Aus diesemll einen rechten. Demnach sind für
Grunde wird auch dieser Kreis bei den die Parabel je zwei von der Leitanderen Kurven als Leeitkreis oder Di- geraden ausgehende Tangenten
rektorkreis oder Leitlinie im weiteren aufeinander senkrecht, die LeitSinne bezeiehnet. Ueberei itiimmuigl ge r a de ist zugleich L e i t i n i e i m
beider Anselhauungen erhlalt man aber w e it e r e n S inn e.
befriedigend dadurch, daß iman die Leit- 2) Fiir die Ellipse sei Punkt P
gerade der Parabel als Kreis mit uelnd- in Fig. 103 ein Punkt iit zwei
liclh großem Radius betiahlitet, indem senkrechten Tangenten PU und
man den Mittelpunkt dieses Kreises ebenso PV. Dann nmuß wegen der schiefen
wie den Mittelpunkt lnd den zweiten Symmnetrie der auf dem Durch