Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Brennpunkts- Eigenschaften der Kurven zweiten Grades. 191
Polare von D', D'F' oder k' Polare zwei festen Tangenten einer
von KI bezw. D'Q Polare des Schnitt- Kurve durch alle übrigen Tanpunktes von cd mit XY. Ferner sind genten der Kurve ausgeschnitten
auf jeder Sekante durch einen Polpunkt werden, werden aus jedem Kurvenvier harmonische Punkte gebildet durch brennp unkte durch zwei vereinigt
die Kurvenschnittpunkte nebst Pol und liegende kongruente gleichPolarenschnlittpunkt, also auf Q F, auf laufende Strahlenbüscehel proKF, auf DF, auf DX, und ebenso auf jieiert.
QF', K' F', D'F', DY. Sind nun
unter den Projektionsstrahlen eines Breninp unktes nach solchen vier harmonischeni
Punkten zwei zugeordnete konjugierte Strahlen, so sind diese senkrecht undc
folglich Winkelhalbierende.
Erkl. 324. Die Winkel XFY bezw. XF'Y in Fig. 97 welche durch den
Strahl FQ bezw. F'Q halbiert werden, sind desto spitzer, je stumpfer der Tangentenwinkel, und desto größer je kleiner der Tangenltenwinkel. Dabei kann der Winkel
am Brennpunkt auch zu einem überstumpfen werden, also größer als 180~, wäihrend
die entsprechenden Verbindungsgraden des Kurvenmittelpunktes nur bis zur Grenze
1800 beim Durchmesser gelangen. Bei der Hyperbel ist für Tangenten, an getrennten Aesten FQ stets Halbierungsgrade des Nebenwinkels von XFY bezw.
XF'Y, deshalb wird in Satz 33 der unbestimmte Artikel ~ein Halbierungstrahl"
gesetzt statt des bestimmten. Die ausgesagte. Eigenschaft ist beim Kreis eine
selbstverständliche Beziehung des Mittelpunktes zu zwei Tangenten. Man sieht,
daß diese Eigenischaft bei den allgemeinen Kurven dem Mittelpunkt abgeht und auf
die Brennpunkte sich überträgt, man kann also sagen, daß sie auch beim Kreis
dem Mittelpunkt eben in seiner Eigenschaft als Brennpunkt des Kreises zukommt.
Erkl. 325. Auch eine Eigentümlichkeit der Brennpunkte, welche im Satz 34
ausgesprochen ist, tritt beim Kreis als bekannte Eigenschaft des Mittelpunktes auf
(vergl. Erkl. 159 des II. Teiles dieses Lehrbuches). Und in Fig. 79 erscheint
ebenfalls wie beim Kreise das Ueberspringen aus dem Wert des Winkels in den
Supplementwinkel, wenn die veränderliche Tangente längs der Kurve durch die
Parallellage zu einer der festen Tangenten hindurch bewegt wird. Will man also den
Satz 34 im Wortlaut des Satzes 33 aussprechen, so würde man auch wieder den
konstanten Winkel gleichzusetzen haben ~einem der Winkel" der Sehstrahlen
nach Berührungspunkt und Tangenltenschnittpiunkt. Bei den allgemeinen Kuriven
kommt diese Eigenschaft nicht dem Mittelpunkt, wohl aber jeclem der beidenl
Brennpunkte zu, indem die Beweisfühirung im ersten Teile obiger Antwort genau
ebenso mit Vertauschung der Buchstaben F und F' giltig bleibt. Dabei braucht
aber keineswegs der konstante Winkel UFV an einem Brennpunkt denselben Wert
zu haben, wie der konstante Winkel UF'V am andern Brennpunkt, vielmehr wird
dies nur dann zutreffen, wenn etwa auch XFQ=XF'Q bezw. QFY=QF'Y wäre.
Zur Herbeiführuug dieser Beziehung müßten F und F' die Scheitel gleicher Peripheriewinkel über den Sehnen QX bezw. QY sein. Man kann also umgekehrt feststellen, daß
wennman in zwei Kurvenpunkten X Y, welche mit dem Brennpunkte auf einemKreise liegen,
Tangenten zieht, dann der Schnittpulnkt der letzteren auf demselben Kreise liegen muß.
Erkl. 326. Dem Satz 34 kann imana auch andern Ausdruck geben, indem
man den konstanten Winkel XFQ UZV QFY sich um den Punkt F drehenl
läßt. Dadurch entstehen auf x und y die Schnittpunkte U und V der veränderlichen
Tangente, und man erhält den
Satz 34b. Läßt man einen Winkel von unveränderlicher Größe sich
um einen fes ten Scheitel F drehen und bringt seine Schenkel in jeder Lage
zuim Schnitt mit zwei festliegenden Graden x und y, so liefern die Verbindclngsgeradeni dieser Schnittpunkte U und V die Tangeniten einer Kurve