Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Breninpunkts-Eigenscliaften der Kurven zweiten Grades. 187
erzeugt, nur das einelmal von positivem, das anderenlal von negativem Vorzeichen,
nämlich: MP1 ~ MP2 =- MF2 = e2, aber MR1 * MR2 =- MF2 =- e2.
Erkl. 317. Führt man hiernach für die Hyperbel gleiche Reciiinung durch, wie
nebenstehend fiir die Ellipse, so entsteht erstens MP2: MX = MP2: YPo - MR2: YR2,
und zweitens MX2- YPo2 == RIY YR2 - YR2 * (RM - YM). Multiplikation liefert
wieder links Wegfall des einen Faktors MX, rechts des gleichen Faktors YR2,
oder MP2 MIX =MR2. (RM - YlM) -MRt ~ IMR + MR2 * MY. Für die Hyperbel
ist aber von diesen drei Prodlukten wieder das erste a2, das zweite - e2, das
dritte -b, also bleibt a2 —b2- e2 oder b2 e - a2, während bei der Ellipse
a2 -- b2 =e o2der b2 a2 -e2. Hieraus ergibt siclh daßc beidemale b Kathete
eines reclhtwinkligen Dreiecks ist, welches bei der Ellipse die Strecke a zur
1-ypotenuse und e zur Kathete, bei der Hyperbel umlgekehrt e zur Ilypotenuse
und b zur zweiten KIatliete hat. Daher miuß in Fig. 94 jede der Verbindungsstrecken
FC - F'C FD = F'D die Länge a haben, sodaßf die Brennpunkte der Ellipse aus
den Axen sofort konstraierbar sind.
Frage 78. Welche BrennpunktsEig ensc haften der Kurven er- Antwort. 1) Verbindet man in
geben sich aus den Beziehungen.ig. 91 bis 93 irgend einen der
der Fokalinvolution? Schnittpunkte zugeordneter Strahlen
Figtur 95.,'
Erkl. 318. In jedem Punkte der (a1 a2) oder (g9 g2) mit den beiden
Ebene bilden die konjugierten Strahlen Brennpunkten der Kurve, so hat
eine Involution, und innlerhalb jeder man vier Strahlen nach vier harStirahleninviolution befinden sich zwei mlonischen Punkten, nämlich nach
senkrecht stelende Strahlen, welche die den Ordnungspunkten und einem
Axenstrahlen sind. Diese Axenstrahlen Punktepaar der Fokalinvolution.
sind die Strahlen nach S1 und S, in Von diesen vier harmonischen
Fig. 91-93 in jedem Sclhnittpunkt Strahlen sind aber zwei zugeordnete
zweier zugeordneten Strahlen (al a2). Sie aufeinander senkrecht, folglich
schneiden auf der Axe das perspek- müssen diese die Winkel der
tivisch liegende Punktepaar der Fokal- beiden andern halbieren. Geinvolution aus. Das Paar der Ordnungs- schieht dasselbe insbesondere auch
strahlen jener Involution aber miuß mit dem Kurrvenpunkte P als
in der Fokaliivolution ebenfalls durch Schnittpunkt der Strahlen pl und
die Ordnungspunkte gehen, also jedes- p2, also der Kurventangente und
ral die Brennp unkte der Kurve aus- ihrer Normalen, so muß dieselbe
schneiden. 3Man1 hat daher in jedem Beziehung erscheinen. Dadurch er