Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Brennpunkts-Eigenschaften der Kurven zweiten Grades. 183
Ordnung der konjugierten Punkte auf - und umgekehrt. Da aber die
dem Durchmesser to. Je zwei Punkte Strahlen al fl gl sämtlich parallel
dieses Durchmessers sind durch die polare laufen durch den Punkt Si, so
Beziehung entsprechend, und immer durch rmüssen ihre Pole sämtlich liegen
den eine n Punkt eines Paares geht ein auf der Polaren des unendlich fernen,Strahl von Si, durch den anderen der Punktes S1, also auf einem Kur ve nzugeordnete Strahl von 8,. Der Schnitt- durchmnesser, und zwar auf demn
punkt zweier solchen Strahlen muß k o n j u g i e r t e n Durchmesser zu:irgendwo in der Kurvenebene liegen. demjenigen Kurvendurchmesser m1,
Fällt er insbesondere auf die Axe selber, welcher unter den Parallelstrahlen
dann imuß dieser Punkt F ein B r enn- des Büschels S1 enthalten ist. Die
punkt sein. Denn außer den beiden Pole Ao, Fo, Go.. der Strahlen,senkrechten konjugierten Strahlen fi und al fi gi werden geliefert durch die
f2 der Biischel S1 und S2 geht durch Tangenten in den Kurvenschnittdiesen Punkt F eben die Axe a selbst, punkten von al f1 gl. (Den Pol Mo
deren konjugierte Gerade der anderen des Durchmessers min, liefern bei der
Axe b parallel laufen muß, also eben- Ellipse Fig. 91 die Paralleltangenten
falls senkrecht zu a stehen mnuß. Sowie in den Endpunkten des Durchaber in der Involution der konjugierten messers mi.).Strahlen eines Punktes F z wei senkrechte Strahlenpaare vorhanden sind, 3) Nun bilden aber diese Polmissen alle Strahlen der Involution, also punkte Ao Fo Go... auf demn zu
alle konjugierten Strahlen des Punktes F m1 konjugierten Durchmesser nichts
aufeinander senkrecht stehen, d. h. F anderes als die involutorische:ist ein Brennpunkt der Kurve. Punktreihe to der inbezug auf
die gewählte Kurve konjugierten
Punk te dieses Durchmessers, denn
Figur 93. es sind konjugierte Punkte.
/' Ao und der Schnittpunkt (al to),
FO und der Schnittpunkt (fl to),
Go und der Schnittpunkt (gl to),...
Mo und der Schnittpunkt (mi to),
-;Y /l./ ~h weil stets der eine Punkt eines
ap,l solchen Paares auf der Polaren des
1T -' 1_/- o/ / andern liegt. Demnach sind nunt ^>;f^^ — P 2 mehr die durch die Punkte Ao Fo
't - P — + Go. gezogenen Senkrechten zu
tZ ~ r/f r~^i ) rn-a21 m1, nämlich a2, al, f2 1 fi g2 lg1~
~\ / /TJ ^/ h2 1 hi... die senkrechten konS // ^2 2 <?jugierten Geraden zu den letzteren,
u \nd sie bilden zusammen ein zweites
~s,^7\ Parallelstrahlenbüschel nach dem
\unendlich fernen Punkte S2, dessen
Richtung senkrecht zur Richtung
Erlkl. 312. Da der Mittelpunkt der nach Si gelegen ist.
Ellipse M in Fig. 91 innerhalb der
Kurve liegt, so ist der Durchmesser m, 4) Wenn nun von den Strahlendort einer der in Betracht kommenden paaren ai a2, f f2, gL g2, hl h2 eines
Strahlen; bei der Hyperbel in Fig. 92 oder mehrere einander auf der
liegt der Punkt M1 alußer halb der Axe schneiden würden, dann wären
Kurve, und es brauchte der Strahl m, dieseSchnittpunkte K-urvenbrennhier eigentlich nicht benutzt zul werden. punkte. Dies ist in Fig. 91 bis