Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

182 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Frage 76. Wie bestimmt man
die Anzahl und Lagebeziehung Antwort. 1) Da ein Brennpunkt
der Brennpunkte einer Kurve2 nach dem bisherigen ein Punkt
auf der Innenstrecke einer Axe
Erkl. 310. Der nebenstehende Nach- sein muß und lauter senkrechte
weis, daß die Ellipse und Hyperbel konjugierte Strahlen besitzt, so
zw ei, die Parabel einen Brenn- sucht man zunächst überhaupt eine
punkt auf ihrer Hauptaxe besitzen gegenseitige Beziehung senkrechter
mtissen, könnte auch aus den später be- konjugierter Strahlen aufzufinden.
wiesenen Maßeigenschaften dieser Punkte Zu dem Zwecke zieht man durch
entnommen werden. Jedoch ist es vor- beliebig viele Punkte A1 F1 G1 H...
zuziehen, auch diese Eigenschaften auf einer Kurven-Axe AMB in Fig. 91
rein projektivische Weise abzuleiten, und bis 93 Strahlen al fl gl h... in
diesem Zwecke dient die Ausfiihrung der einer willkürlich ausgewählten genebenstehenden Antwort. Zudem liefert meinsamen Richtung, also sämtlich
dieselbe nebenbei auch noch andere be- parallel nach einem unendlich
merkenswerte Beziehungen der Kurve zu fernen Punkte S1. Diese Strahlen
ihren Brennpunkten, insbesondere die sog. bilden einen Parallelstrahlenbüschel
F o k a 1 i n v o 1 u t i o n. -- Wegen der Si, und alle zu ihm senkrechten
Wichtigkeit der Beweisführung ist die- Strahlen müssen einem zweiten
selbe auch nicht nur in Fig. 91 an der Parallelstrahlenbüschel S2 angeEllipse, sondern auch in Fig. 92 für die hören, dessen Scheitel S2 in der zur
Hyperbel und in Fig. 93 für die Parabel Richtung Si senkrechten Richtung
noch besonders zur Darstellung gebracht. liegt.
Figur 92.
A,
P'~
Erkl. 311. Die beiden unendlich 2) Zu einem Strahle al fi gl.
ernen Plunkte 82 liegen in zwei zu ein- des ersten Büschels ist nun derjenige
ander senkrechten Richtungen auf der Strahl as f2 g2... des zweiten Büschels
unendlich fernen Geraden. Jeder ist der konjugierte S t r a h 1,
Scheitel eines Parallelstrahlenbischels, und zwar ein sen kre cht s t ehenund es fragt sich, ob und wie die der konjugierter Strahl, welcher
Strahlen der beiden Büiischel zugeordnet durch den Pol des erstgenannten
werden. Dies geschieht durch die Zu- Strahles a1 fi g... hindurchgeht,