Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Involutorische BeziehunglLen an den Kurven zweiten Grades. 177
Ordnungselementen, noch die parabolische Eine allgemeeine elliptische
Involution, sowie die beiden besonderen Strahleninvolution tritt auf bei
Involutionsarten, nämlilih die circulare und jeglicher Kurve in der Gesamtdie gleichseitig-hyperbolische; und von heit der k onjugierten Geraden
jeder Gattung der Involutionen gibt es durch einen beliebig gewählten
wieder Punktinvolutionen und Strahlen- innern Punkt, so auch in den
involutionen. Dabei kann in neun von konjugierten Durchmessern der
diesen zehn Fällen die verlangte Invo- allgemeinen Ellipse und speziell
lution in verschiedener Weise erscheinen, als Parallelstrahlenbüschel bei
je nach Lage der Elemente bezw. nach jeder Hyperbel durch jeden innerdein Zahlenwerte der zugehörigen Potenz; halb der Kurve liegenden Punkt
nur bei der circularen Punktinvolution der unendlich fernen Geraden.
ist das Auftreten ein ganz einzigartiges,
ohne jede Veräinderlichkeit, nämlich nu 2) Eine allgemeine h yperauf der unendlich fernen Geraden und in boli sche Punktinvolution erstets gleichbleibender Lage. scheint bei jeglicher Kurve in
der Gesamtheit der konjugierten
Erkl. 303. Jede einzelne der neben- einer beliebig estehenden fünf Doppelantworten gibt die wähltei schneideneln Geraden,
Lösung der Frage noch in dreifacher so auch auf jedem Durchmesser
Weise, nämlich ziinächest hinsichtlich der von Ellipse oer Kreis sowie auf
allgemeinen Bedinguingen fiür das Auf- en
der efr ~t den schneidendenDt urehmessern jeder
treten der gefragten Involutionsart, Hyperbl und speziell auf der
zweitens werden diejenigen besonderen unendlich fernenGeradenfürdie
Einzelfälle in Erinnerung' gebracht, welche allgemeine Hyperbel.
schon in deno vorhergehenden Antworten Eine allgeeine hyperbolische
zir Erwilähnung gelangt waren, uind Str ah leninvolution erscheint bei
drittens wird alngegeben, wie die gefragte jeglicher Kurve in der GesamtInvolutionsart speziell mit unendlich fernemi eit der k onj ugier ten Gera een
Träger auftreten kann, also jede Punkt- beliebig gewälten
b tdurch einen beliebig gewählten
involutionanuf de runendlich fernen Geraden, äußern Punkt, so auch in den
jede Strahleninvolution mit unendclich k
lkonJugiertenDurhelimessern der
fernem Scheitel, d. h. als Parallelstrahlen- allgemeinen Hyperbel und speziell
büischel. Die meisten dieser Einzelflle als Parallelstra
Da s1 P a r a 11 e 1 s t r a h 1 e n b ii s c h e 1
sind in andermn Zusalmmenhang bereits uc jeden Punkt er unendlich
besprochen in den beiden vorhergehenden f ernen Gerad en für Elip s e und
Antworten. Kreis und bei jeder Hyperbel für
Erkl. 304. Da die circulare und die jeden außerhalb der Kurve liegengleichseitig-hyperblolische Involu- den Punkt der unendlich fernen
tion nur durch metrische Eigenschaften Geraden.
definiert sind, so kann als Projektion
derselben im allgemneinen nicht wieder 3) Eine parabolische Punkteine gleichartige Involution erzeugt werden. involution entsteht bei jeglicher
So entsteht durch Projektion einer gl ei ch- Kurve in der Gesamtheit aller zum
seitig-hyperbolischen Punktinvo- Berührungspunkt kon j ugierten
lution nur in deim Ausnahmefalle wieder Punkte einer beliebig gewählten
eine gleichseitig -hyperbolische berüiirendenGeraden, also auch
Strahleninvvoloution, ldaß der Scheitel mit unendlich fernem Doppelpunkte
auf der im Involutionsmittelpunkt er- auf den Asymptoten jecer Hyrichteten Senkrechten gewählt wird, also perbel und speziell auf der unbei dem Parabeldurchmnesser bezw. der en dlich fernen G e r aden bei der
Asymptotenparallelen einer Hyperbel auf Parab el.
S a chs, Projektivische (neuere) Geonietrie. III. Teil. 12