Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

176 Projektivische (neuere) Geometiie. Ill. Teil.
Strahlen der Scheitel. Auf der unendlich bei welcher jeder Strahl des ParallelfernenGeraden schneiden die beidenBüschel strahlenbüschels aller Durchmesser
wieder je zwei zugeordnete Punkte der zu einem einzigen derselben konjuabsoluten Kreisinvolution aus. Durch giert ist.
jeden Ordnungspunkt dieser Involution
gehen also auch je zwei zugehörige Strahlen beider Büschel, und damit hat man
einen zweiten Beweis daftir, daß diese imaginären Kreispunkte wirklich Kurvenpunkte
des Kreises sind, weil auch sie Schnittpunkte zweier entsprechenden Strahlen der
Biischel sind. Man erhllt dabei die paradox erscheinenden Eigenschaften, daß je
zwei (imagilnäre) Strahlen, welche von zwei reellen Punkten nach demselben von
den beiden unendlich fernen absoluten Kreispunkten gehen, zu einander zugleich
parallel und senkrecht sind. Dies zeigt aber wieder Übereinstimmung mit der
Eigenschaft der Kreisasymptoten, deren jede als ein zusammenfallendes Paar konjugiertert Durchmesser aufzufassen ist. Da je zwei konjugierte Durchmesser des
Kreises zu einainder senkrecht sind, so miuß jede Gerade aus dein Kreismittelpunlkt
nach einem der absoluten Punkte als zu sich selber parallel und senkrecht
betrachtet werden.
Erkl. 301. Nächst dem Mittelpunkt sind die wichtigsten Punkte in Beziehung
zu einer Kurve die Punkte der unendlich fernen Geraden. Die Gesamtheit der
konjugierten Geraden durch einen unendlich fernen Punkt bildet einen involutorischen
Parallelstrahlenbüischel, als dessen jeweilige Ordclnungsstrahlen die beiden Paralleltangenten der Kurve in der Richtung nach dem unendlich fernen Biischelscheitel
auftreten. Der Bischel weist stets h y p e b o 1 i s c 1i e Involution auf für alle Ellipsen
und Kreise und Parabeln, sowie fiir die Punkte der unendlich fernen Geradenl im
Außenwinkel der Asyimptoten der Hyperbel, el li p t i s h e Involution nur ftir die
Punkte der unendlich fernen Geraden im Innenwinkel der Asymptoten der Hyperbel,
p a rab o clsh e Involution für den unendlich fernen Punkt jeder Parabel sowie fiir
die beiden unendlich fernen Beriilrungspunkte der Asymptoten der HTyperbel, denn
in letzteren Fällen ist stets die unendlich ferne Gerade bezw. die Asymptote selber
jedem anderen Büschelstrahl konjugiert bezw. umgekehrt. Von besonderer Art ist
dabei die hyperbolische Strahleninivolution in den Punkten der unendlich fernen Geraden
iln Bezug auf die Parabel, indem dort die unendlich ferne Gerade als Kurventangente
selber den einen Ordnungsstrahl bildet. Daher bildet die einzige im endlichen
laufende Parabeltangente in der Weise den anderen Ordinungsstrahl, daß je zwei
in gleichem Abstand zu ihren beiden Seiten liegende Geraden -je eine die Kurive
schneidende und eine nicht schneidende - ein zugeordnetes Strahlenpaar des
involutorischern Parallelstrahlenbiischels liefern. Dies zeigt wiedeir Übereinstimiung
mit der in Erkl. 139 und 2!96 erwäihnten Eigensclhaftt der Parabel.
Frage 73. Wie treten die einzel- Antwort. 1) Eine allgemeine
nen Arten der Involutionen bei den elliptische P unktinvolution
verschiedeneniKurvengattungenaufl tritt auf bei jeglicher Kutrve in
der Gesamtheit der ko njugierten
Erkl. 302. Die vorstehende Frage Punkte auf einer beliebig gewählerfäihrt in nebenstellender Aintwort fiilf- ten nicht treffenden Geraden,
fach doppelte Lösung. Denn man unter- so auch auf den nicht treffenden
scheidet nach den bisherigen Ausfiihrun - Durchmessern jeder Hyperbel
gen außer den beiden allgemeinen In- und speziell auf der unendlich
volutionsarten, nämlich der elliptischen fernen G e r a d en f ir jede a 11 -iund hyperbolischen, d. li. ohnle und meit g e eine Ellipse.