Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Involutorische Beziehungen an den Kurven zweiten Grades. 167
Frage 69. Was für involutorische
Eigenschaften der Kurven ergeben Antwort. Schon in der Antwort
sich aus den Polaritäitsb eziehun- der Frage 21 und nochmals in der
gen der in bezug auf eine beliebig Antwort 22 wurde der Beweis gegewählte Grundkurve konjugier- liefert für den Satz 8 bezw. 8a,
ten Elemiente. daß polar zugeordnete Gebilde
stets projektivisch verwandt
Erkl. 288. In Fig. 89 ist p = ti sind. Da von je zwei konjuPolare zun P, und umgekehrt P ol zu gierten Elementen stets jedes eine
p, weil P Sclnittpunkt und p Beriihrunggs- sich in vereinigter Lage befindet
sehne der Tangenten x und y ist; in mit dem polar zugeordneten des
Fig. 90 ist ebenso wie in Fig. 89 p andern, so gilt diese projektivische
Polare zu P undl P Pol zu p, weil P die Verwandtschaft besonders auch für
eine Nebenecke und p Verbindungsgerade konjugierte Elemente, also für
der anderen Nebenecken ist im einge- die konjugierten Punkte einer Geschriebenen Viereck der Punkte 8 S2 raden und für die konjugierten
A U oder S S 1B V. Aus derselben Strahlen eines Scheitels. Betrachtet
letztgenannten Beziehung geht auch her- man also in Fig. 89 und 90 die
vor, daß U1 Pol zu a bezw. a Polare zu Gerade t als Träger zweier PunktU1, und u Polare zu A1 bezw. A, Pol reihen, nämlich der Punktreihe
zu ui ist. Wenn aber ii Polare zu A, beliebiger Punkte t1 und der Reihe
a Polare zu U 1 uLnd A", CU die Schnitt- der ihnen konjugierten Punkte
punkte von a, ui mit p sind, so sind eben t2, sowie den Punkt S als Scheitel
einerseits A ulnd UI zwei Punkte der zweier Strahlenbiischel S und S1,
Geraden p, deren jeder auf der Polaren wovon das zweite die konjugierten
des anderen liegt, also zwei konjiugierte Strahlen zu den Strahlen des ersten
Punkte, und anderseits sind a und ui enthält, so ordnet man in jedem diezwei Strahlen des Punktes P, deren jeder ser beiden Gebilcepaare die konjudurch den Pol des andern geht, also gierten Elemente einander zu
zwei konjugierte Strahlen. durch_ lieBeziehung S 7 t -Ä7 S1
A S2 t2 A S '. Dabei ist aber
Erkl. 289. Die Punktreihen auf p schon aus der Konstruktion ersichtund die Strahlenbtischel in P in Fig. 89 lieh, daß zu einem Punkt A_ konund 90 zeigen alle Eigentiümlichkeiten, jugiert ist 1-U, und umgekehrt zu
welche ifür involutorische Gebilde mit U1 wieder A,, bezw. zum Strahl a
und ohne Ordnungselemlente früher auf- konjugiert i, und umgekehrt zu u
g'estellt wurden. In Fig. 90 ist auf p wieder konjiugiert a. Man kann
der Durchlauf A1 BI C1 Uü Vi W1 gleich- aber auch in der friiüher angewandlauifend mit dem Durchlaulf A2 B, C2 ten Weise schreiben (A1 B3 Cl U:
U2 V2Ws, undc keinlPunktpaarA A, BBl2,X Y)B AI X Y) b ( ) ezw.
Ci C 2 usw. wird von einem der andern (a b c u x y) A (u v w a x y)x
innen und aulßen getrennt; und dasselbe Aus beiden Überlegungen geht hergilt ftir Durchlauf und Iage der zuge- vor, daß die Gesamtheit sowohl der
hörigen Strahlenbüschel mit Scheitel P. Ikon j ugier ten Punkte der Geraden
In Fig. 89 dagegen ist A1 Bt CQ X W1 als auch der konjugierten
V1 Ut Y entgegengesetzt dem Durchlauf' Strahl e der Bischel projektiA2 B2 C2 X W,2 VY U2 Y, und in X bezw. vische Gebilde sind, in welchen
Y findet Begegnlungi statt, und j ed e s A U, a u und folglich je zwei zuPu1nktpaar A2 A2 B, B C 2 wird von geordnete Elemente einander dopj e d e m anderen innen l und außen getrennt; p e lt e n ts p r e c h e n, während die
unld dasselbe gilt von den zugehörigien Elemente X Y, x y -- wenn solche
Strahlenbüischeln mit Scheitel P lnd mit vorhanden sind -- je sich selbst