Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

160 lProjektiviselie (neuere) Geometrie. III. Teil.
verlegt, daß sie die lKurve niclt mehr tionen auf der selneidendenTransin zwei Punkten Q, QS schneidet, sondern versalen bezw. in dem projicierenin eineii Punkte beriihrt, so fallen zwei den Scheitelplunkte.
involutorisch zugeordnete Punkte in einen
Doppelpunkt zusaR i 1en, der vereinigte 4) Man erhält also folgenden
Berührungspunkt Q1 wird zu einem wichtigen, gewöhnlich nach seinem
0 r d n ii n g s p ii n k t der Involution. Liegt Entdecker D e s a r g es (1639) bedie Transversale in Fig. 76 noch weiter nannten Doppelsatz fiir Viereck und
ab, so daß sie die Kurve gar nicht mehr Vierseit.
trifft, so hat sie gar keine Schnittpunkte.
Man spricht dann wohl auch in der pro- Satz 29. Die zwei Satz 30. Die
jektiviselen Geometrie von imaginiären Schnittpunkte zwei Tangenten
oder idealen Sclihittpunkten eeiner außer- einerbeliebigern aus einem beliehalb der 1Kurve -verlaufenden Trl'ansversale Sehni ttgeraden bigen Scheitelmit der IKurve, bezw. von einem imaginären mit jeder durch punkte an je d e
oder idealen Punktpaar der Ilnvolution, die vier Haupt- die vier Hauptals dessen Verbindungsgerade eben die ecken eines voll- seiten eines vollTraiisversale, d. h. eine reelle Gerade auf- s.ändigen Vier- stätndigen Viergefaßt wird, welche der Träiger der ecks hindurch seits berüihrende
involitorischen Punktreihe ist. In An- gehenden Kurve Ku rv e zweiter
lehniiung an Satz 27,a findet man, daß in zweiter Orcnung Klasse bilden ein
Fig. 78, wo die Involution keine reellen bilden ein zu- zugeordnetes
Olrdnungselelmente lhat, auch! wirkliclh die g e o r dn e t e t r a h 1 e n p a a r
Gerade gar nicht so gelegt werden kuann, P nlUnktepaarder- derselben Strahdaß sie die Kurve berihrt - oder um- selben P u n k t - 1 en i n v o 1 u t i o n,
gekehrt: (aß ldurch l die vier Grund- invol tio n, welche in diesem
punkte des Vierecks in Fig. 78 (oder welche auf dieser Scheitel durch
65, 67, 69) gar keine lKurive gelegt Transversalen seine Verbinw-er deii kann, welche jene Tralslver- durch ihreSchnitt- dcungsgeracen mit
sale berüiih-rt. Anderseits aber gibt es punkte mit den den G e g e ni -
in Fig. 76 (bezw. 64, 66, 68) zwei Gegenseiten- e ck enp aar en
Ordnu cli ngsp1 unkte der Iinolution, und - paaren des voll- des vollständigen
daheir gibt es unuter allen cdiii-cli die vier ständcligen Vier- Vierseits beGOrundpunkte di, r Fig. 76 (bezw. 64, 66, ecks bestimmt stimmnt wird.
(;8)gellenden lllKurven e'rade zw ei welche wirl. - er iiüi t Liegt derScheiteldie dort gegebene Tiansversale e e- die Transversale punkt a uf der
rii hr e n: eben in je eiltem der Ordnungs- cie Kurve, sowir K v e, so wiird
punkte der Involution. Die eine Kiure ihr Berührungs- seine Tangente
wvird eine Ellipse sein, nur wenig ver- punkt zu einem1 zu einem 0 r d -
schieden von der in Fig. 76 voralndenen; 0 r d n iu n g s - n u n g s s t r a hi 1
die andere wird eine Hlyperbel sein, p u n k t der In- (ler Involution.
deren einer Ast oberhlalb der Transversalen volution.
durch die vier Ecklpunkte gelht, wahrend
der andere die Transversale von unten her zwiselen C uncd C, berlihrt. In Fig. 66
und 68 sind es je zwei IHyperbeln, welche die Traisvale in den Orlnungspnnkten
eriihren.
Erkl. 281. Denkt man sich in Fig. 77 den Projektionsscheitel in denselben
Außenraumii verlegt, welcher die Kurve selber einthllt, iund in welcllem nach Fig. 75 -
die gleiche Art von Strahleninvolution entsteht, wie Fig'. 77 selbst a ufweist, so
kann der Scheitel S so nahe an die Kurve leranriicken, ldaß er keine zwei Tlangenten meii gestattet, sondern nirm nocl eine einzige, indeml S selbst zum Kliii'veniiplkt