Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

148 Projektivisclle (neuere) Geometrie. III. Teil.
diesem einen ziugeordnet Man hat also auilerhall) A1 A_, und zwar in
diejenige Art der Involution, bei welcher Figur 68 rechts von A. - Wird
die Eindeutigkeit verloren gelt, indem die noch eine Ecke iberschritten, so
sämtlichen Punkte der involutorischen entsteht in Figur 69 wieder die InReihe zu einem einzigen zugeordnet sind, volution ohne Ordnungspunkte,
nämlich die uneigentliche oder parabolische denn von den Punktepaaren A.t A,
Involution. - Es lassen sich noeh zwei Bl B9, CQ C2 wird jedes durch jedes
andere Einzelfälle aufstellen, nämlich das andere getrennt; der Mitt e p un k t
Hlindurclhgehen der Transverssalen durch liegt zwischen B1 und C. - Weitere
zwei Nebene cken oder durch zwei Verschiebung der Transversalen
Hauptecken. Der erstere Fall liefert führt wieder auf Figur 68 und
diese beiden Nebenecken als Ord- Figur 67 zurück.
nungspunkte der Involution und dazu 9) Man kann also das Ergebnis
noch e in Punktepaar von dem ibrigen dler Untersuchung folgendermaßen
Gegenseiteinpaare. Der letztere Fall ist zusammenfassen:
gleichbedeutend mit dem Zusanmmenfallen a. Die Pn inv i
Satrz 27 a. Die P u n k t i -n v o 1 u t i o n
der Trausreirsaleii mit einer Vieieckseite
selber; dabei entstehen iiberhaulpt nur der Schnittpunkte einer beliebigen
drei Schnittpunkte, nämlich die zwei Geraden mit den Gegenseitenpaaren
Haupteckeii selber und eine der Neben- eines vollständigen Vierecks besitzt
ecken. Und als zugeordnlet zu letzterem z ei 0 r n n g s u n t e we
Schnittpunkt kann jeder beliebige Iunkt die ransversae die Eckpunkte
der Seite selber gelten als Schnittpunlkt belm k o v e n Viereck (erster
dieser Geraden mit sich selbst. Denn Art) in ge racer oder beim kondie beiden Eckpunkte werden einander k a ve Viereck (zweiter Art) in
zugeolrdnet als eiin Piaar, und (dazi darf ungercl e r Anzahl trennt; die
Involution besitzt kie'ne Ordein zweites Puniktepaar beliebig inzu- Involution besitzt k e 1 n r -
treten zur enldgiltigeii Bestimmung der n u n g s p u n k t e, wenn die TransInvolutiou. Denkt man sichi diesen ibrig- versale dle Eckpinkte beimi lonbleibenden beliebigen Punkt in einen der vextn Viereck in ungerader
vnoer beix k o n k a v en Viereck ia r
Eckpunkte verlegt, so hat man wrieder oer ei kn V ec i
od-arter Aeimzkolinkavennt.i
die uneig-entliche Involutioni wie oben bei er a Anz l tent
der durch einen Lckpunklt gehenden
Traunscversaleln; denkt man sich denselben
beliebigenl Punktt so gelegt, daß er zusammen mit der Nebenecke e lie beiden Eckpunkte von einander trenit oder nicht trennt, so hat,man die Involution ohne oder
mit Ordnungspunklten. Nur durch diese Mehrdeutigkeit der Ergebnisse ist ermlöglicht,
daß beiderlei Vierecke (konvexes und konkaves) aus vorler verschie(lenerlei Einzelzustainden zu gleiclem (renzzustand fiilhren kiinnien beim ibergang der Transversalen
in die Viereckseite....;,2
Erkl. 263. Der erste TUmstand, daß die Involution der Schnittpunkte rvon
gleicher Art bleibt bei beliebiger Drellhlg oder Verlscliebiung der TIransversalen,
so lange letztere nur keinen Eckpunkt iiberschreitet, zusammen mit rdem zweiten
Umstand, daß jede auf der Tl'ansversalen liegende Nebenecke einen Ordniungspunkt
liefert, gestattet eine andere Bestimumung der auf beliebiger Tranisversaleni auftreteclden
Involution, als in Satz 27 a, wobei man auch die Unterschleiidung der beiden Arten
des Viierecks entbehren kann. Die auf beliebiger Transversale n entstehende
Punktinvolution ist eine solche mit oder ohne Ordnungspunkte, je
nachdem diese Transversale sich inur olhne oder mit fÜberschreitluneines Eckpunktes so verschieben bezw\. drelheit läßti, daß sie durch eine
Nebenecke des Vierecks hindur ci hI geht. Ist dabei olihe Überschreitung einer