Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die involutorisclhen Gebilde. 141
in tt: A1 Br C1 Ct2D1 A2H1 IB.=K I Nimmtt man nun wieder, wie in
in t,: A2 BG C2 D2,-CtI AlH B-.21IK,' Antwort 52, Al als ProjektionsVielmehr geniigt es nach Satz 24, fiir scheitel So, nm die Punktreihe t3
ein Paar das Doppeltentsprechen nach- auf die durch Ci gehende Gegenzuweisen, weil dann dasselbe für alle seite des Vierecks als Träger ti zn
Paare eintreten muß. Die zusammen- projizieren, so entsteht
gehörigeni Punkte jedes Paares sind auch A3 B A Cs D3 A A1B8 C1 D1,
an del Figur gleichartig bezeichnet, wobei diesmal CS Ci und D4 C
nämlich Al und A: durch Sternchen, B1 ist. Wird endlich noch (ie Punktund B2 durcl Striche, Ct und C,2 durch reihe t1. zurückprojiziert auf den urdickere Punkte. Und es ist im ersten sprüngliehen Träger t2 aus dem
der nebenstehenden Beweise der Nacl- Scheitel S2, so kommt jeder der
weis des Dopp)eltentspreclhens gefiihrt ursprünglichen Schnittpunkte der
für das Punktepaar C, D,, C9 D1, im Viereckseiten auf den Schnittpunkt
zweiten Beweis filr das Punktepaar Bi B. mit der Gegenseite, nämlich
bezw. B.1 Bt. A (C D A B2 C2 D2
Erkl. 251. lMan kann den Gedanken- wobei nun C- D und D2 D.1 Ci
gang des ersten Beweises kurz darstellen wird. Man hat also wirklich in
in der Formlel: d_ _en Punkten Al B1 C1 DI1 A AB2 C2 D2
tl A S, 7 t3 So A t, 7\ S T t2, projektivisch zugeordnete Punkte,
folglich tl t.,. Denni maln hat in ge- von welchen das eine Paar CI D
schlossener Aufeinanderfolge die Be- und C2 D2 doppelt entsprechend
ziehunglen': ist. Folglich sind nach Satz 24
Al 1 1 CL / A, B C,, D A B1, C1, D, 1 alle Paare doppelt entsprechend,
A1 ~lr Ct D), 1 A3 B3 J3 1:,3 A\ A[ B. C4D4
~~= X ^~ _und die Punktepaare At A2, BI B2,
AA*2B2 Cl,2D2. C1 CC sind zugeordnete Punkte
Man kann aber den Gedankenglang auch einer involu torischen Punkt -
in der WTeise abändern, daß man jede e reihe.
der beiden Punktieihen t1 und t2 einzeln 11
auf einen anderen Tr'äger iüberträtgte
nämillich t1 mittels Projektion aus St auf Faßt man (in Figur 64 bis 69)
t3, und t2 mittels Projektion aus S2 auf t4. ins Auge die Schnittpunkte A1 Bi D1
Dadurcl entsteht t/ SI 1\ t. und der Transversalen miit den durch
t2 S9 /7t1. Betrachtet nan aber die den Eckpunkt B, gehenden Viereckauf t, und tt so erhaltenen Punktglrppen, seiten und nimmt hinzu den Schnittso zeigt sich, daß C:(,1 identisch sind, punkt B i mit der Seite B,2 B als
und daß je zwei der anderen entsprechen- Gegenseite zu B1 B3, so entsteht
den Punktelpaare A AÄ, 13 B1, 1,D3 D1 auf durch Projektion dieses PunkteStrahlen dessellben Scheitelpunktes paares aus der erstgenannten Ecke
AI - So zu liegen komlmen. Hiei'aus B, auf die letztgenannte Gegenseite
schließt mana, daß t3 Ä3 So tt1, und folglich B, BB die Be-iehung
auch tr A A1181D1182 11G5 182t4.
auch tL A t1,. A, BI D B B2 / B, G S2 B2.
Erkl. 252. An der Figur kann der erste Nun bleibt nach den Sätzen 6a
Beweis noch vielfache Abiiinderiungen und 61) in Erklärung 315 des I. Teiles
erfahren: Als t1 und tl dienen ir gend diese projektivische Verwandtzwei Gegenseiten des Vierecks, als S s schaft bestehen, auch wenn von
bezw. S, je irglend einer der auf tl den vier Elementen Bz GS2B2 zwei
bezw. t3 liegenden Eickpiunkte des Vierecks: beliebige PaCare unter einander verldanni wird zu So jew-eils der Schnittpunkt tauscht werden; also entsteht durch
der Gegenseite von SL S, mit Cder Trans- Vertauschung Tvon B-i mit S2 und
versaleln, und das Doppeltentsprechen von G mit B2 die Beziehung: