Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

lber die involtitorischenl Gebilde. 139
beiderseits gleiche Winkel bilden miit ht die eine der beiden Arten von
oder mllit k. Daß der Parallelstrahl Involution, nämlich die (hyperhi2 //EF zugeordnet ist dem Strahl kl2 bolisehe) mit zwei Ordnungsnach dem Mittelpunkt von EF, ist eine elementen, in keinem Falle die
selbstverstäindliche Beziehung zwischen andere (elliptische) Art ohne OrdStrahlenbtischel und Punlktreilhe, bildet nungselemente, weil die auf der
aber keineswegs eine clarakteristische Nebenseite des Vierseits ausgeEigenschaft des involutorisclhen Bischels schnittenen Punkte stets zu den
als solchen. zwei Seiten harmonisch liegen.
Erkl. 247. Der erste ind zweite Teil
obenstehender Antwort sind im Text
durchaus dualistisch durchgefiihrt und lknnten auch an der Zeichnung in dualistischer Gegentiberstellung behandelt werden. An Figur 63 trifft letzteres nicht zu
aus dem GrCnde, weil die gemeinsamen und verinderlichen Elemente der Vierecke
bezw. Vierseite sich dem Auge verschieden zeigen: einerseits enthalten alle zur
Konstruktion der Punktreihe HI, K verwaiindten Vierecke drei gemeinsame und eine
veräniderliche Seite, also zwei veränderliche E c kpunikte, anderseits enthalten die
zur Konstruktion der Strahlenbiiscliel 1h k verwendeten Vierecke drei gemeinsame
und einen veränderlichen Elckpuinkt, also zwei veriinderlichel Seiten. Daher
mußten auch die Formelln verschieden ausfallen, durch welche in Erklärung 242
und 245 die projektivischenl Verwandtschaften dargestellt wi den.
Erkl. 248. Es bedarf keiner besonderen Erwiälhung, daß der Punkt B der
Figur 63 ebensowohl als Scheitel eines involutorischen Biischels erscheint, wie C.
Auch1 dort sind BE B B u F 0Ordnunlgsstrahleni, aber Be l, und BK5 sind nicht mehr
als Axeustrahlen aufzufassen, da sie keinen rechten Winkel bilden. - Auch jeder
der Punkte der Zeichenebene, nicht nur B und C, kann als Scheitel eines involutorischen Strahlenbüschels auftreten, wein man von ilhl aus die Reihe der H1, K
projiziert; und auch jede beliebige Gerade der Ebene aunßer EF 9kann als Tr1iger
einer involutorischen Punktreihe auftreten, wenn man sie mit den Strahlen des
Scheitels C zum Schnitt bringt. Man hat daher ein einfaches Mittel, durch lineaire
Konstruktion eine involutorische Piunktreihe oder einen iinvolutorischen Strahllenbiischel vollständig darzustellen, wenn dessen Ordnungselemente gegeben sind. Gleiche Behandlung füir Involutionen der
anderen Art oder ohne gegebene Ordnungselemente ergeben siel aus den folgenden
beiden Antworten.
Frage 63. Welches ist das wichtigste Vorkommen der Involution Antwort. Das wichtigste Aufam volls t ä n d i g e n Vie r e c k treten der involutorischen Beziehung
am vollständigen Viereck betrifft
Er1kl. 249. Die sechs Figulren 64 bis 69 P tinv io u est t
eine Punktinvolution und besteht
zeigen die verschiedenen Fälle, welche i folende Tatsache:
für den nebenstehenden Satz in Betracht
kommen. Ihre Unterscheidung im ein- Satz 27. Die drei Paar Gegenzelnen erfolgt in der Antwort der fol- s e i te n eines v o 1l s t ä n d i g e n
genden Frage 64. Die Buchstaben für Vierecks werden von jeder beden Text beider Beweise I und II aber liebigen Geraden geschnitten in
sind in jeder der sechs Figuren in genau d r e i P a a r zugeordneten
gleicher Weise angeordnet. Der Stu- Punkten einer involutorischen
dierende wird also gut tun, den Beweis Punktreihe.