Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die involutorischen Gebilde. 133
weit fort fäillt, so muß der zugeordnete Normalst,'ahlen uu' beiderseits je
zum Mittelpunkt der beiden anderen gleiche Winkel von 450 bilcen. Für
werden. Letzteres zeigt sich bei der im
Abschnitt 7 erörterten Involution (Figir 59): ' a,
Von ihren zwei selbstentsprechendlen /
Doppelpunkten ist einer der im Endlichen /.
liegende Punkt X, der andere der un-
endlich ferne Punkt M M'- Y. Und '
deshalb liegt X als Mittelp unkt S 1_ pn t,-...
zwNischen je zwei zugeordneten Punkten - --— /"/" \ /, z
AA', BB'.....'
/ ' \
Erkl. 236. Entsprechend dem Ge- /'
dankenkreise, aus welchem für die Invo- \
lution ohne Ordclnungseleente der
Name ~elliptische Involution", fürti Fir G1.
jene mit Ordnungselemnenten der
Name,h y p e rb o li sc e v In 1 olt i o ni jedes beliebige Strahlenpaar wird
(Erkl. 185 und 187) entnommen wurde, auch tg (u a) tg (u a') 1, also
nennt man die dazwischenliegende Art
von Involution, bei welcher alle Elemente tg (u a) -ctg (u a),
einem einzigen znugeordnet sind, die (n c a)
~parabolische Ilnvolutionc. Nun sind folglich (U a') -90~- (u a), denn
die im siebenten Abschnitt nebenstehender tg (900 - u a) ctg (n a). Der zuAntwort erörterte Punktinvolution und die geordnete Strahl a' zu jedem geim neunten Abschnitt behandelte Strahlen- gebenen ist also von u' uml einen
involution Involutionen mit Ordnlungigs- ebensolchen Winkel z ri ckelerenten, also eine besondere Art gedreht, als a vom anderen
der hyperbolischen. Und wegen der Normalstrahl u vorwärts gedreht
gleiclhgroßen Strecken bezw. gleichgroßen ist: beibeiderseitigem Winkelabstand
Winkel je zweier gepaarten Elemente von 450 von nu' fallen die beiden
beiderseits der Ordnungselemente nennt gepaarten Strahlen in einen Ordman dieselbe die ~gleichseitig- nungsstrahl x bezw. y znsamhyperbolische Involutiona'. Die mnen, uln dann von x bezw. y
im achten Abschnitt obiger Antwort be- aus wieder in entgegengesetzter
handelte Strahleninvolution aber ist eine Drehungsrichtung von gleicher
solche ohne Ordnung selemente, also Winkelgröße auseinanderzurücken.
eine besondere Art der elliptischen; und Man erhält also einen Büschel der
wegen ihrer engeren Beziehung zum Kreis in Figur 61 dargestellten Art,
nennt man sie die "zirkular e Strahlen- welcher durch zwei entgegengesetzt
iivo llutiona, oder aiuch die recht- kongruente Strahlenbüschel gebildet
winklige oder orthogonale Stralh- wird: zugeordnet sind je zwei
leninvolution, weil je zwei gepaarte Strahlen, welche mit den AusgangsStrahlen senkrecht zu einander stehen. - strahlen x bezw. y na ch entEndlich kann auch noch jede gewöhnliche g e g e n ges e t z ten R i ch tun g e n
oder besondere Punktinvolution durch glei chgr o ße Wink el bilden.
Projektion auf die unendlich ferne
Ger ade iibertragen werden als eine
Punktinvolution auf unendlich fernein
Träger, oder sie kann durch Projektion aus einem ulnenidlich fernen Punkte zur
Erzeugung eines involutorischen Parallelstrahlenbiischels von jeder der
verschiedenen Gattungen verwendet werden.