Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Uber die involutorischen Gebilde. 131
Betracht die Punkte M P P'. Wird nur der andere Ordnungspunkt X
3IP= —CO, so wird auch M5P'-C0; allein im Endlichen, und zu
und entweder MP oder MI P liegt jedes- dessen beiden Seiten liegen die zumal ihlerhalb einer Strecke gepaarter geordneten Punkte. Nun kann die
Punkte (Figuiren 51 I und 52 I). Ob Gleichung M A. MA'- =M X2 stets
also (a ) M im Endlichen bleibt und P cluch Einführung der Strecke M A
mit P' ins Unendliche tieckt, oder (a II) als Grundstrecke auf die ForIn geder eine Potenzpunkt im Endlichen bleibt bracht werden
und der andere mit IM ins Unendlichee
riickt, jedesmal müissen A und A' MA(MA+AA')-(M'A+AX)2, oder
durch eine unendlich große Strecke ge- M A2+ M A. AA' -- iMA
trennt sein, also kann umr der ein e
1 + o P M A - A X X A X2.
Punkt im Endlichen bleiben, der andere
-muß ins Unendliche hinausriicken. Hier fällt M A2 beiderseits fort, und
b) Hat man eine Punktreihe mit durch Division der übrigen Glieder
Ordclnungselelnenten, so konummen in mit MA entsteht:
Betracht die Punkte M X Y. Wird
M X Z= Y = o, so erhält uman v e - AA'- 2 A X
schiedenerlei Ergebnis, je inachdem M A
(b ) IM im Endlichen bleibt und X mit Y Läßt rman ntun in dieser für j ed e
ins Unendliche riickt, oder (b II) der involutorische Punktreihe geltenden
eine Ordnunglspiunkt im Endlichen bleibt Gleichung iM A unendlich groß
11ud der andere mit R3 ins Uneendliche werden, so entsteht fiir das letzte
rüiickt. Im ersten Falle entsteht die Glied der Wert Null, und es bleibt
gleiche Art Zuordnung wie zuvor (a I und
A A' - 2 A X, oder
a II), denn der eine Punkt eines jedenAA A, ode
Paares liegt (Figurenl 51 II 1und 52 II) A -AA'
innerhalb XY, also im Endlicheni, der2
andere außerhalb, also im ITUendilichen. Man erhält also eine involutorische
Im zweiten Falle aber bleibt im Endlichein Punktreihe aus lauter solchen
der eine Ordnungspunkt, von welchem Punkteliaaren, welche beiderseits
beiderseits die Punkte der ziugeo)rdneten des selbstentsprech enden OrdnungsPaare auseinander rücken. Dah1er entsteht punktes X in gleichem Abstande
iaus dieser letzten Auffassungsweise eine liegen: je zwei s y mm etris ch zu
neue Art der involutorischen Beziehung X liegende Punkte sind zuge(Absclmitt 7 der nebenstehenden Antwort). o r dn e t e.
-iIB1..34. 8) Wahrendc unriter den StreckenErkl. 234. Untersuchlt man, wie die 8) Während unter den Strekengro ß1en zwvischen O und c~ kiene
vorstellenden Er;örterungen siclh anus de ße zwischen 0 und keine
besonders ausgezeilhnlete sich vorFiiigren 52 bis 54 ergeben, so zeigt sich be
*~ 1 *I -l Tfindet, ist unrter den Wi n k e ldas gemeinsame Ergebniiis dei Fälle a I det, st unter den Wink lund aIl <aus Figi1' 52 I VT(n z/wei größen noch besonders zu nennen
Puniilten AA' liegt stets der eine iner- diejenige, fr welche der Potenzwert
halb, der andere außelhalb (les Kreises tg (up) blezw. tg" (u x) gleich der
Einheit wird. Set zt n~an wie
der P1otenzpunkte P P'. Damit also Einheit wird. Setzt man wie
IM P = MPa M 00 werdenl kxl!lann, muß friiler zunäachst tg2 (u p) 1, also
tg (up) ~ tg ( ip') -- 1, so wird
dieser Kreis selbst unendlich g'roß werden, (u t ( ) so wr
folglich die Punkte H- K unendlich großen < (u p) = -450, < (u p') - 45~,
Ab:;tand erhalten, es kainn also etwa H 1 man hat einen involutorischen
im Endlichen bleiben, K in; Unendliche Strahlenbiisehel mit glei chl aufenricken. Dadurchl werden aile Einzel- denl Einzelbiischel, wobei die
kreise zu g'eradeln Linieln durch Punkt 1-I, Potenzstrahlen pp' aufeinander
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