Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

124 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
also v9 auf ul, u9 auf vl. Von dcen Pfeilen tg (1 a) tg (ii a') = tg2{ ( x) - tg2 (su y)
geben dabei wieder die einfach gefiederten = ctg (u' a). ctg (u' a') ctg2 (u' x)
den beideinale gleichbleibenden Umlauf (x) 180 -(X)
von St aln die doppeltgefiederten den ctg2 (u' y) -tg9- = etg'2- --.
1 - - (2 2g
Umlauf von 8S 2.
Erkl. 219. Dabei entsprechen ein- Demnach sind (vergl. Antwort 1 der
ancder in Figur 55 die TWinkel (q1 v) Frage 23 des II. Teils) a und a' zwei
und (q9 v). Wenn also a1 im Winkel Strahlen, deren Winkel durch die
(ql v v) liegt, so liegt a, im Winkel (q9 vr), trallen x und y innen und außen
so daß, Twen lder lW7ilnkel (n v a 2) ein harmonisch geteilt wird, und u
spitzer wird, der Winkel (vs'as) bei
spitzer wird, der Winkel (v2 a.) bei und u sind die Winkelhalbierendlen
Messung i dersele Udlaufsrichtug der Strahlen x und y. Hiermit ist
vomn gemeindsamen Schelnkel ulnl v au us aber, daa und a' ein ganz beliebiges
eom geilleinsamen ichenkel iird-, vd nus
ein stu mppf e r Winkel wirdl, und nur Strahlenpaar ist, auch Satz 24 für
involutorisehe Strahlenbüischel be~
bei Messung in entgegengesetzter involutonriche Strahlenbuschel beUmlaufsrichtung als spitzer Winkel wiesen. Und die Strahlen u, u, zu
erscheint. Beicde Ulstinde machen deren beilden Seiten nicht nnr in
tg(v, at) negativ, also das ProduktFigur 56 die Ordnungselemente
tg( a). tg (v2 a) negativ; x und y, sondern auch in Figur 55
laben die Winkel (v a1) undc (i a2), dle zwei Potenzstrahlen p12 q1
und überhaupt je zwei das gleiche
wenn beide als spitze Winkel gemessen un berhaupt e zwei das gleiche
Produkt
werden sollen, entgegengesetzte Umlaufs- rodukt
richtlung vom gemeinsamen Schenkel tg(ua). tg(ua') bezw. etg(u'a). (lu'a)
vl-u2 aus, liefern also wieder negatives ergebende Strahlenpaare symTangeentenprodukt. - Auch bei Figur 56 metrisclih angeordnet liegen,
entsprechen einander die Winkel (qt vl) heißen auch die Axenstr ahlen
und (q2v2). Wenn also wieder a1 im oder die Axen des involutoriWinkel (qL v1) liegt, so liegt as im Winkel sehen Strahlenbüschel s.
(q2 v2), aber diesmeal so, daß, wenn der
Winkel (ut al) ein spitzer ist, der Winkel 5) Da in beiderlei involutorischen
Strahlenbiischeln (mit und ohne
(v a.) ebenfalls ein spitzer ist, gemessen Strahlenbuscheln (mit und ohne
vomlY gemeilnsanen chenllkel U aus Ordnungselemente) j edes projekdaß also das Tangentenprodukt positiv eordnete Srhen r
wird; und ebenso haben die Winkel (vi a) doppelt entsprechend sein muß, so
und (u2 a9) spitze Winkelwerte bei gleicher entstehen lauter ge ichgroße
Messungsrhtung vom gemeinamen Winkel zwischen den projektivisch
Sclhenkel v,1 =2 aus. zugeordneten Strahlen: die Winkel
(a b1) (b-2 a), (ei d) -(dg c2) und
Erkl. 220. In Figur 55 und 56 sind alle ähnlichen sind bei gleicher
die Strahlen al von S1, aufgefaßt als Winkelgröße mit vertauschten
Strahlen des anderen Büschels S2, be- Endschenkeln a ufeinanderzeichnet als b,. Wegen des Doppelt- gefallen. In der Tat sind nach
entsprechens in jedem Paare zugeordneter Satz 8a des ersten Teils in zwei
Strahlen muß daher as von S2 aufgefaßt projektivischen Strahlenbüscheln
als Strahl des Biischels S1, als bl be- stets zwei Gruppen gleichzeichnet werden, so daß a-1)-2, a2=b1. großer Winkel zwischen zugeZugleich sind unterhalb der die Büischel ordneten Strahlen vorhanden,
schneidenden Geraden die den Strahlen und zwar schließen die gleichen
P=l-q2, u=-lv2, a1= b2 bezw. p, n, a Winkel der einen Gruppe jeweils
involutorisch zugeordneten, nämlich p2 -qi, von den zugeordneten Normal12=v1, ab1, bezw. als p', ub', a' be- strahlen des betreffenden Büschels
zeichnet. Man hat also zwar in jedem den einen ein, den andern aus,