Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die involutorischen Gebilde. 119
Erkl. 210. Der Kreisbüschel erster Berührungspunkte sind die OrdArt, welcher in Figur 52 verwendet ist, nungspunkte X, Y.
gestattet zweierlei schneidende Geraden:
innerhalb und außerhalb H K. Zu ersterer
Art gehört auch die Zentrale OJNQ selber; auch auf dieser ist also eine involutorische Punktreihe ausgeschnitten, und zwar von der Art wie Figur 52 I: Mittelpunkt
ist J, Potenzpunkte sind hier die Schnittpunkte des kleinsten Kreises H L K L'.
Figur 54.
Iv'
l xr Elc ~ ~AIQ - y i A'
Der Kreisbiischel zweiter Art, welcher aus der Gesamtheit der eine Gerade H[K
in gemeinsam bestimmtem Punkte berührenden Kreise besteht, liefert b1loß involutorische Reihen der Art Figur 52 II, da der Innenraum H K zu Null zusammengeschrumpft ist. Und mit diesem Umstande ganz übereinstimmend zeigt sich die
Erscheinung beim Kreisbüschel dritter Art (Figur 54). Auch dieses erlaubt nur
Sekanten der Art 52 11, denn da die Potenzlinie völlig außerhalb aller Kreise läuft,
so liegt auch Punkt M stets außerhalb der Sekantenstrecken. Aber in beiden
letzteren Fällen des Kreisbtischels zweiter und dritter Art wiederholt sich das Eintreten der Potenzgeraden selber als Kreis mit unendlich großem Radius, der izum
Punkt M den unendlich fernen Punkt,COM' zuordnet.
Erkl. 211. In Berücksichtigung des übereinstimmenden Ergebnisses der
dreierlei Kreisbiischel kann die Angabe der obigen Antwort iiber die Konstruktion
der involutorischen Reihen aus zwei gegebenen Punktepaaren dahin erweitert werden,
daß die beiden zur Zeichnung erforderlichen Kreise bei der involutorischen Reihe der
Figur 52 II nicht unbedingt einander schneiden müssen. Es dient nur zur Vereinfachung der Konstruktion, wenn die Kreise einander schneiden, weil dann die
Sekante H K sich unmittelbar ergibt als Potenzlinie eines Kreisbüschels erster
Art. Wenn die Kreise einander berühren, so liefert ebenso die gemeinsame
T angente als Potenzlinie eines Büschels zweiter Art den Mittelpunkt M durch
ihren Schnittpunkt mit t. Und wenn die Kreise einander gar nicht treffen, so
bestimmen sie dennoch einen Kreisbiischel dritter Art; aber dessen Potenzlinie
kann leicht konstruiert werden (durch gleichlange Tangenten oder durch Hinzunehmen
eines dritten beliebigen Schnittkreises) und liefert wiederum den Mittelpunkt M und
zugehörige Punktepaare. - Daß bei einer involutorischen Reihe nach Figur 52 I
überhaupt nur Kreise möglich sind, die einander schneiden, geht aus der Lage der
Punkte hervor und stimmt damit iberein, daß1 nur der Kreisbiischel erster Art durch
Sekanten zwischen H und K iberhaupt solche Reihen liefern kann.