Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

118 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
0 und Q von JN mit den in X und Y angedeutete Mittelsenkrechte J N
auf t errichteten Senkrechten. Die Gerade der gemeinsamen S hne H K des
t wird nur von denjenigen Kreisen ge- Kreisbüschels. Wegen der Halbtroffen, welche ihre Mittelpunkte auf J N kreise sind aber die Winkel A K A',
beiderseits anußerhalb der Strecke dieser B KB', CK C C' * als Peripheriebeiden genannten Kreismittelpunkte haben. winkel über dem Durchmesser jedes
zugehörigen Kreises sämtlich
Erkl. 209. Die in Figur 52 an- rechte Win kel, also erhält man
gegebene Konstruktion gestattet aufs folgende merkwirdige Beziehung:
einfachste an beiderlei Arten der involu- Die Punktepaare einer invotorischen Reihe den gegenseitigen Durch- lutorische i Reihe ohne Doppellauf der gepaarten Punkte zu erkennen: punk t e k önnen d ur c h einen
In Figur 52 I entspricht dem Punkte P rechtwinkligen involutorider Punkt P', jedem Punkt zwischen P schen Strahlenbüschel projiund M ein Punkt zwischen P' und OOM', ziert werden aus einem Punkte,
indem die Kreismittelpunkte auf der der senkrecht über dem MittelMittelsenkrechten von HK von N nach punkt der Reihe liegt in einer
rechts unten ins Unendliche ricken; jedem Entfernung gleich dem A
Punkte zwischen MI und P' entspricht stande der Potenzpunkte von M.
ein Punkt zwischen 001M' und P, indem 7) Zeichnet man Halbkreise
die Kreismittelpunkte auf der Zentralen über der Strecke jedes Punktepaares
von links oben bis zum Punkte N wieder einer involutorisehen Reihe mrit
hereinricken. - In Figur 52 II sind sich D o p p elpunk t e n (Figur 54), so
selbstentsprechend der Punkt X und ebenso wird beiderseits von M jede Strecke
der Punkt Y, jedem Punkte zwischen X bezw. jeder Halbkreis umfaßt von
und M entspricht ein Punkt zwischen X jeder größeren Strecke bezw. jedem
und OOM', indem die Kreismittelpunkte größeren Halbkreis. Daher entsteht
auf JN von 0 nach links oben ins Un- kein Kreisbüsschel der in Figur 52 1
endliche rücken; jedem Punkte zwischen und 53 erhaltenen Art, sondern ein
M und Y entspricht ein Punkt zwischen Kreisbischel mit imnaginären
Y und OOM', indem die Kreismittelpunkte Schnittpunkten (vergl. Erkl. 206).
von Q nach rechts unten ins Unendliche Die Halbkreise über den Nullstrecken
rticken. Die Kreise mit Mittelpunkten ('er selbstentsprechende Ordnungszwischen 0 und Q kommen für Figur 52 II punkte schrumpfen zu Punkten
gar nicht in Betracht. Gemeinsam bei zusammen, aber die Strecken MX
beiderlei involutorischen Punktreihen ist =IlMY sind wieder gleich der gealso der Umstand, daß allen Punkten meinsamen Lange aller von M an
zwischen P und P' bezw. zwischen X die sämtlichen Kreise ge ogenen
und Y (welche in der Figur mit den Tangentenstrecken. Auf jeder beungestrichenen Buchstaben bezeichnet liebigen Sekante dieses Kreisbüschels
sind) Punkte außerhalb P P' bezw. XY wird ebenfalls eine involutorische
zugeordiet sind, aber in Figur 52 1 auf Reihe ausgeschnitten, und zwar
ungleicher, in Fizur 52 II auf der gleichen jedesmal eine solche mit OrdSeite von M. Ferner entspricht beide- nungspunkte n, da ihr Schnittmale dem Punkt M der unendliche punkt i mit der gemeinsamen
Punkt OOM', denn die Gerade HMK Potenzlinie stets außerhalb der
ist selbst einer der Kreise durch HK, Strecke jeder Sehne liegt. Sobald
nämlich der Kreis mit unendlich großem die Sekante t nicht mit der gemeinRadius, den man geschlossen denken samen Zentrale aller Kreise zukann je nach Zutreffen durch die linke sammenfällt, gibt es zwei Kreise,
oder rechte Hälfte der unendlich fernen welche t beiderseits M in gleichen
Geraden. Abständen berühren: und ihre