Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

110 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
lung der projektivischen Punkt- einander doppelt entsprechen,
r e i h e n so müssen auch die Fluchtpunkte
Fs und G1 beider Reihen zur
Figur 51. Deckung gelangen, da ja auch
ooF P, - 1, — m m A ooI7 die unendlich fernen Punkte
J 2- '_ 2 A MF P - -- O F100 und G200 aufeinander
liegen. Nun bilden aber nach
X - fi Satz 7 des I. Teiles die Strecken
oo + — X=-P M=rZ A' jQ=Y<-< *~G zwischen je einem von zwei
entsprechenden Punkten und
Erkl. 198. Der Satz 7 des ersten dem Fluchtpunkt seiner Reihe mitTeiles lautet: ~In zwei projektivisch ver- einanderkonstanteProdukte,folglich
wandten Pnnktreilen hat das Produkt muß man hier gleiche Produkte
der Strecken von je zwei entsprechenden erhalten aus den Abständen je
Punkten zum Fluchtpunkt ihrer Punkt- zweier involutorisch gepaarten
reilhe einen konstanten Wert". Dieser Punkte AA', BB' vom gemeinsam
Wert heißt die "Konstante der projek- z u s a m e nf alle e n n Fl u ch ttivischen Beziehung' oder auch die punkte. Nennt man den letzteren,Potenz der projektivisehen Beziehung". M, so ist also (Figur 51) M A. M A'
Sind also F9 und G1 die Fluchtpunkte =MB. MB'MC. MC'.... const.
in den getrennt zu denkenden Punktreihen 2) Dieses Produkt wird genannt
tl und t2, so gilt füiir beliebige projek- die Potenz der involutorischen
tivisch zugeordnete Punktepaare A, As Reihe. Dasselbe muß positiven
und B1B.2 die Gleichung Gi Ai. F, As Wer t haben, wenn die beiden
-(Gr B1. F B,. Ist hierin, wie in Figur 51, Punktreihen ungleichlaufencl auf
G1AX>GlB3, d. h. Gl ferner von A, dein gemeinsamem Träger liegen
als von Bi, so mulß F A, <FeB,, d. i. (Figur 51 II), denn nur dann beF, näher bei A, als bei B,. Und nur finden sich zwei gepaarte Punkte
für die zwei bestimmten Punktepaare auf gleicher Seite vom FluchtP, QI und P, Q2, welche beiderseits irn punkte aus. Dagegen hat das Progleichen Abständen von den Flucht- dlukt negativen Mvert, wenn die
punkten liegen, ist gleichzeitig GPI beiden Punktreihen gleichlaufend
=-F2P2 und G1Q=1 =F, Q, erstere beiden auf dem gemeinsamen Träger
Strecken je nach der einen, letztere liegen (Figur 51 1), denn dann bebeiden je nach der entgegengesetzten finden sich zwei gepaarte Punkte
Richtung in ihrer Reihe gemessen. auf ungleicher Seite vom Fluchtpunkt aus.
Erkl. 199. In Figur 51 ist bei I und II 3) Das Produkt MA.MA' entsteht
die Reihe t1 beidemale identisch aufge- aus zwei gleichgroßen Faktoren,
tragen, und zwar von links nach rechts von MPI - MP2, wenn man als gepa Irte
F1 nLach P1, G~ inmitten von P1 Q1, Punkte die beiden sogenannten
QI A1, F oo. Darunter ist ebenfalls Potenzpunkte der beiden Reihen
beidemale identisch die Reihe t2 auf- ins Auge faßt, welche beiderseits
getragen, aber in Figur 51 I gleiclh- in gleichem Abstande von jedem
laufend mit tl, also ebenfalls von links einzelnen, also hier auch vom
nach rechts ooG, nach Q2, A', F, in- gemeinsamen Fluchtpunkt liegen.
mitten von PsQ2, P2 G.o o; dagegen in Selbstentspreehend kann jeder
Figur 51 II dieselbe Reihe t2 entgegen- der beiden Poteenzpiiinkte nach dem
gesetzt zu t1, also von rechts nach vorig-en aber nur im Falle der
links dieselbe Punktfolge OOG9, ungleichlaufenden EinzelpunktQ., 2A', P2, 0O G2. Beidemale reihen werden (Fig. 51 II). Daher
iegt also Punkt A bezw. Q_ rechts von werden dieselben auch nur im