Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die involutorischen Gebilde. 107
haben, d. h. wobei je zwei gepaarte Elemente nicht durch einander innen und
außen getrennt lie en. Nur in diesem Falle aber bilden die Ordnungspunkte
mit jedem gepaarten Punkteptar vier harmonische Punkte, und die Ordnungsstrahlen mit jedem gepaarten Strahlenpaare vier harmonische Strahlen.
Frage 56. Welche Folgerungen
ergeben sich aus den Sätzen 22 bis Antwort. Da die Entstehung
24 hinsichtlich der Bestiiimmunngs- eines involutorischen Gebildes eine
stücke und der Konstruktion besondere Art von projektiviseher
eines involutorischen Gebildes? Verwandtschaft darstellt, so wird
Erkl. 192. Wenn von einem invol u- auch Bestinym ung und Konstruktion
torisehen Gebilde sehlechthin die des involutorischen Gebildes nach
des involutorisechen Gebildles nach
Rede ist, so wird aih dcie Bezeich- Bestilmmung und Konstruktion der
*,2~ 1 * projektivischen Gebilde erfolgen
nung der Elemente nict mehr, wie in
Figlur 46 bis 49, getrennt durchgefihrt mussen Unc zwar genügt die
Vorstellung der Beziehungen an
für die beiden Einzelgebilde, dureh deren Vorstellung der Beziehungen an
Zusanmllmenlegung das involutorische eit- eier involutoischen Punktreihe,,a lma die Beziehungen in dem
standen ist, sondern man buchstabiert je de Beehungen n
zwei gepaarte Elemente, d. h. die vo orischen Strahenbschel
dutchu lPri)jelktion d'araus erhalten
beiden Elemiente eines zugeordneten Paares urh kton ra erhalten
mit demselb en Bui (hstaben des kann...
Alphabets, nur mit Unterseheidung durch Nun sind zwei projektivische
Ziffern 1 und 2 oder mit und ohne zu- Punktreihen eideutig zugeordne-t
gefügten Strich, also A, undc A2 oder A curch Zuordnung dreier Punltund A', B1 und B2 oder B und B'... paae: A1 B C und A2 B2 2. Da
Hiernach ist in Figur 50 jeder der Fälle aaer bel der involutorishen
aufgefiihrt mit Angabe aller Einzelarten,t e Pare A
in welchen die gewählten Elemente schon dasjenige Punktepaar ebengrupielt werden k ö.nnen. falls zugeordnet sein muß, welches
grtippiei t werclen leholnen.
die Punkte A1 in ts und A2 in ti
Fig~ur 50. darstellen, so ist durch Festlegung
allein von Ai A2 als involutorisch
-Ai M-1 B- X42 _ 2 i_- gepaartem Elementepaar schon für
Ia: dieses zweite Paar die Zuordnung
A, B2 B/ ebenfalls ausgesprochen. Man kann
- i -- -- -- -- -- also nicht mehr willkürlich die
ÄA i__ B i B A2 __ Paare BI B2 und C, C0 hinzunehmen.
5ly Vielmehr wird durch Hinzunehmen
eines weiteren Paares Bi B2 zu
Al X A A, AS die Bestimmung vollständig
- -L- - -- - — e — _ erschöpft, denn mit Festlegung von
A, (P1)2 A X Jß B B1 B ist ja auch schon wieder ein
-— o-i - _~ -- weiteres Paar als zugeordnet be(P1)
stimmt, nämlich dasjenige, welches
durch BI in t2 und B2 in ti darX Y _ T gestellt wird. Sind also die beiden
PI p PPaare Ai A2 und Bi Bg als involutorisch gepaarte bekannt, so kann
Erkl. 193. Figur 50, I gibt jedesmal man jeden der vier Punkte in t1
die Bestimmung einer involutorischen und t2 getrennt buchstabieren, man
Punktreihe durch zwei zugeordnete kennt so vier Paare zugeordneter