Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

96 Projektiviscle (neuere) Geometrie. III. Teil.
des dritten Teiles der Planimetrie behandelt sind; die Eigenschaften der k o n j -
g i e r t e n D u r c li m e s s e r bringen eine Steigerung dieses Symmietrieverhältnisses
durch das Auftreten ei eine eigentümlichen s c h i e f e i 8 y im m e t r i e; und die
Lagebeziehungen zu den Axen bedingen die sog. a x i g e S y mm e t r i e bei den
durch Umklappung zur Deckung gelangenden Figuren, -welche im Abschniitt B 2
des dritten Teiles der Planimetrie behandelt wird. An der schon in Erkl. 168
angezogenen Stelle desselben Lehrbuches ist nachgewiesen, 1) dacß wenn iiberhaupt
zwei und nur zwei Symmetrieaxen vorhanden sind, dann diese senkrecht zu
einander stehen müssen, und die Figur zugleich zentrisch symmletrisch sein mu1ß;
und 2) daß wenn die Figur zentrisch symmetrisch ist und zugleich axig
symmetrisch zu e i n e r Axe, dann noch eine zweite zur ersten senkrecht stehende
Symmetrie-Axe vorhanden sein muß. Die Ergebnisse der vorstehenden Ü berlegungen entsprechen vollkommen diesen Ausfihrungen: E 11 i p s e und H y p e b e 1
weisen die ebengelnannilten Eigenschaften ini einfachem Zusaommentreffen auf, der
Kreis dieselben in beliebio vielfachem Auftreten, die Parabel dagegen, welche
keine zentrische Durchmessersymmetrie besitzt, hat zur ersten Axe keine zweite,
und da sie umgekehrt keine zweite Axe besitzt, kann sie auch nicht zentrisch
symmetrisch sein.
Erkl. 172. Die beiden Axen der Ellipse (Figur 42) schneiden beide
die Kurve, und jeder Schnittpunkt ist ein S cleitel, d. h. ein Punkt in welchem
Tangente und Durchmesser senkrecht stehen. Außer diesen vier
Punkten A, B, C, D besitzt aber die Ellipse kei ne Punkte, wo Tangente und
Durchmesser senkrecht stellen. Von den Durclhmessern des K reises in Figur 44
ist jeder eine Axe der Kurve, jeder schneidet die Kurve in zwei Scleiteln:
beim Kreise stehen in jedel m K urve lpunkte Tangente und Durchmesser
senkreclht aufeinander, jeder Kurvenpiunkt ldes IKreises ist ein K u r v e n s h e i t e 1.
Bei der H y p e rbel (Figut' 43) trifft nur die Axe AB die Kurve, die andere
Axe als ikonjugierter Durchlmesser zu einem schneidenden Durllhmesser kann
die Kurve nicht treffen. Daher hat auch die Hyperbel nur zw e i A\xen-Schnittpunkte, und außer in den Punkten A und B stehen nirgends Tangelete und
Durchmesser senkrecht zu einander. Bei der Parab el trifft dasselbe nur in
dem einzigen Punkte A zu, in welchemr die Kurve von derjenigen Tangente
bertihrt wird, die auf der allgemeinen Durchamesserrichtung senkrecht steht.
Da die schneidende Axe der Hyperbel offenbar nählere Bezielhungenl zur Kurve
hat als die niechtselhneidende, so ist es von vornherein begreiflich, daß sie die
a u p t a x e (wie auch ihr Winkelraum der Innenwiinkel der Asymptoten), die
andere die N e b e n a x e heißt (ihr Winkelraum der Außenwinkel der Asymptoten).
Dazu kommt aber für die Hyberbel noch der weitere Grund, der auch bei der
Ellipse die längere Axe als Ha upta xe gegenüiiber der kiürzeren als Neben a xe
auszeichnet, daß nämlich auf der als Hauptaxe bezeichneten Axe dieser
Kurven noch die beiden ausgezeichneten Punkte liegen, welche auf Grund
späterer Untersuchungen als B r e n np u n k t e der Kurve erkannt werden. - Es
mag hier darauf aufmerksam gemacht werden, daß der im Abschnitt 3 e dieses
Teiles geriihrte grundlegende Hauptbeweis tiir die mnetrischenl Eigenschaften
der Brennpunkte vom Studierenden auclh voraus genommen werden kann, ulnd
schon an dieser vorliegenden Stelle mit Verstätndnis gelesen werden kann.