Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 14. Notwendigkeit der Jacobi'schen Bedingung. 85
Die so definierte Funktion r ist von der Klasse D" in [x1x2];
sie ist stetig, da u(xl') = 0, und ihre Ableitungen haben als einzige
Unstetigkeitsstelle den
Punkt x = x'.
Wir dürfen daher
zur Berechnung von J2J
wieder die Formel (13) - x
anwenden. Da
Fig. 14.
X(x') = kS(X'),
'f(x,' - 0)= u (x1') + ks'(xH'),
'x(xl' + ) = ks'(x,'),
so erhalten wir
x
6J= J zftklRl(') c'(x/')s(x') + J( + ~ks) (l(u + ks)dx +
""2
+ ks F8(ks) dx}
xi
Beachtet man nun, daß
f(u + ks) = PW(u) + WP(ks)= W(u) + kW(s),
ferner daß
~(~) = 0,
und daher nach (14)
2u1 WF(s) = - R(s- x s),
und endlich daß
u(X1) = 0, u(x1') = 0, s(X) = 0,
so reduziert sich der Ausdruck für 62J auf
x1
Nun ist nach Voraussetzung R (x') + 0; ferner nach ~ 11, a)
u'(x,') + 0, weil u(xi') = 0; und endlich s(x') += 0 nach der Bildung
der Funktion s. Also ist der Koeffizient von k von Null verschieden,
und daher können wir durch passende Wahl von k die zweite Variation in der Tat negativ machen.
c) Ein Lemma über Variationen der Klasse D':
Wir haben zwar im Vorangehenden gezeigt, daß AJ negativ
gemacht werden kann; damit ist aber noch nicht bewiesen, daß kein