Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 14. Notwendigkeit der Jacobi'schen Bedingung. 83
Andere Beweise sind später von SCHEEFFER1) und SCHWARZ 2)
gegeben worden.
a) Der Erdmann'sche Beweis:
Wir nehmen also an, es sei
x' < x2. (38)
Alsdann können wir eine Größe x' so wählen, daß
x1/ < x < x2
und gleichzeitig
A(X3', X,) + 0.
Wir bezeichnen dann
u = A (X, x), v == 4+ A(x, xs)),
wobei wir uns die Wahl des Vorzeichens vorbehalten. Die Funktionen
u und v sind zwei linear unabhängige Integrale der Jacobi'schen
Differentialgleichung (10); daher gilt für sie der Ahel'sche Satz (19),
welcher für die spezielle Differentialgleichung (10) die Form annimmt
R(uv' - 'v) K, (39)
wo K eine von Null verschiedene Konstante ist.
Jetzt wählen wir das Vorzeichen von v so, daß K positiv wird.
Dies ist stets möglich; denn wenn man v durch - v ersetzt, so geht
K in - K über.
Da ferner auch u und u - v ein Fundamentalsystem von Integralen der Differentialgleichung (10) bilden, so folgt nach dem
Sturm'schen Satz, daß u- v eine und nur eine Nullstelle zwischen
x, und xl' besitzt; wir bezeichnen dieselbe mit c; es ist dann also
_u(c)-= v(c).
1) Mathematische Annalen, Bd. XXV (1885), p. 548; der Scheeffer'sche
Beweis ist nur unwesentlich von dem Erdmann'schen verschieden.
2) In seinen Vorlesungen, 1898-1899; vgl. SOMMERFELD, Jahresbericht der
deutschen Mathematikervereinigung, Bd. VIII (1900), p. 189, und HANCOCK,
Lectures on the Calculus of Variations, Nr. 133. Es ist zu beachten, daß bei allen
diesen Beweisen die Annahme x1'< x2 (mit Ausschluß des Gleichheitszeichens l)
wesentlich ist; für den Fall x1' -x2, soweit er nicht durch Erdmann's Formel
(20) für 83J erledigt wird, vgl. KNESER, Mathematische Annalen, Bd. L (1897),
p. 50, und OSGOOD, Transactions of the American Mathematical Society,
Bd. II (1901), p. 166. Wir werden diesen Fall später in Parameterdarstellung
ausführlich behandeln (vgl. ~ 43).
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