Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

82 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
2. Nach jedem Punkt P2 der Kurve $ läßt sich von P, aus eine Kettenlinie
mit der x-Achse als Direktrix ziehen; auf derselben ist der Punkt P2 zugleich
der zu P, konjugierte Punkt. Diese Kettenlinie liefert kein Minimum (vgl. ~ 43).
3. Liegt P2 im Innern des Bereiches II, so läßt sich von P, aus keine
Kettenlinie mit der x-Achse als Direktrix nach P, ziehen.1)
~ 14. Notwendigkeit der Jacobi'schen Bedingung.
Wir haben bereits hervorgehoben, daß die beiden in ~ 12, a)
bewiesenen Sätze JACOBI'S, obgleich sie uns wichtige Aufschlüsse über
das Vorzeichen der zweiten Variation geben, dennoch weder eine notwendige noch eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines
Extremums enthalten.
Trotzdem kann man wenigstens eine notwendige Bedingung aus
dem ersten der beiden Sätze durch eine leichte Modifikation der
Jacobi'schen Schlußweise ableiten. Es läßt sich nämlich zeigen:
Wenn x'< x2, so kann man 8PJ nicht nur gleich Null, sondern
sogar negativ machen.
Dies ist zuerst von WEIERSTRASS 2) und ERDMANN ) bewiesen
worden.
1) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 2-12, 35-40 am Ende von Kap. III.
2) WEIERSTRASS, (Vorlesungen) schreibt die zweite Variation in der Form
2J== 2 { [(P + k)2 + 2Q + R2j d x -- kf dx},
2X x,
wo k eine kleine positive Konstante ist, und wendet auf das erste Integral die
Jacobi'sche Transformation an (~ 10, b)):
XJ= Xd
WO
w(n) - ((P + k) Q') r - ( ).
Dann zeigt er auf Grund allgemeiner Sätze über Differentialgleichungen, welche
einen Parameter enthalten (vgl. unten ~ 24, e) und PoINCARE, Mecanique celeste
(Paris 1892), Bd. I, p. 58, und PICARD, Traite, Bd. III, p. 157), daß man für
hinreichend kleine Werte von k eine Funktion 4r der Klasse D" konstruieren
kann, welche der Differentialgleichung W(,) = 0 genügt und in x, und x2 verschwindet. Für eine solche Funktion,] ist aber offenbar d2J negativ.
3) Schlömilch's Zeitschrift, Bd. XXIII (1878), p. 367.