Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 13. Geometrische Bedeutung der konjugierten Punkte. 81
Vom Punkt P1 aus läßt sich nach ~ 24, c) nach jeder Richtung (außer
parallel der y-Achse) eine Kettenlinie mit der x-Achse als Direktrix ziehen. Bestimmt man auf jeder Kettenlinie dieser Schar den zu P1 konjugierten Punkt P/',
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P\ t // 1
J / * j-l7; T N
Fig. 11. Fig. 12.
so ist der geometrische Ort der Punkte P1' die Enveloppe r der Schar. Nach
(37) erhält man die Enveloppe in Parameterdarstellung, wenn man ul aus den
Gleichungen
((u - u) Ch u
=x; + y Chu ' Y y Ch~h '
Coth u - u = Coth ul - u,
eliminiert.
MAc NEIS 1) hat diese Enveloppe näher untersucht. Sie hat etwa die
Gestalt einer Parabel mit der positiven Hälfte der Geraden x= x als Achse
und dem Fußpunkt N der Senkrechten von P1 auf die x-Achse als
Scheitel.
Hiermit hängt nun die Frage der Konstantenbestimmung aufs engste zusamme n. Das Resultat ist folgendes2): Durch die Enveloppe l wird der von
der positiven x-Achse und der positiven Hälfte der Geraden x= x begrenzte
Quadrant in zwei Teile I und II zerlegt (Fig. 12).
1. Nach jedem Punkt P2 im Innern von I lassen sich von P, aus zwei
Kettenlinien mit der x-Achse als Direktrix ziehen; die eine enthält den zu P,
konjugie rten Punkt nicht, die andere enthält den konjugierten Punkt zwischen
P, und P.P Nur die erstere kann also ein Minimum liefern und tut es auch in
der Tat (vgl. ~ 19).
) Annals of Mathematics (2), Bd. VII (1905), p. 65.
2) Vgl. GOLDSCHMIDT, Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data
duo puncta jungentis circa datum axem ortae, Göttingen, 1831; H. A. SCHWARZ, Berliner
Vorlesungen, mitgeteilt von IHNCOCK, Lectures on the Calculus of Variations,
Chap. III, und MAC NEISH, loc. cit.
B o 1 z a, Variationsrechnung. 6