Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

80 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
daraus erhält man für rq und r, die beiden auf p. 72 mit u1 und u, bezeichneten Funktionen und hieraus, in Übereinstimmung mit dem schon dort
angegebenen Resultat,
A(x, x) ==ShvCh v - Sh SChv+ (v -v) ShvShvl,
wobei zur Abkürzung gesetzt ist
x -- Po xV -- PO
OCo c O
Daraus ergibt sich (wenn vl- 0) für die Bestimmung von x,' die transzendente
Gleichung
Coth v- v Coth v1 - v. (37)
Da die Funktionl) Cothv -v von + oo bis -oo abnimmt, während v von
- oo bis 0 wächst, und dann wieder von + oo bis - oo abnimmt, während v
von 0 bis + oo wächst, so hat die Gleichung (37) außer der trivialen Lösung
v v= noch eine andere Lösung vl', und v, und v,' haben entgegengesetztes
Zeichen.
Wenn daher v > 0, d. h. wenn der Punkt P, auf dem aufsteigenden Ast
der Kettenlinie liegt, so existiert kein zu P, konjugierter Punkt:
A (x, x) ==0 für jedes x x,. Dasselbe Resultat gilt für v = 0.
Wenn dagegen v, < 0, d. h. wenn P, auf dem absteigenden Ast der Kettenlinie
liegt, so existiert stets ein zu P1 konjugierter Punkt P,', und zwar liegt derselbe
auf dem aufsteigenden Ast. Der Punkt P,' kann geometrisch durch folgende
von LINDELÖF2) entdeckte Eigenschaft bestimmt werden: Die Tangenten an die
Kettenlinie in den beiden Punkten P, und P,' schneiden sich auf der Direktrix
der Kettenlinie, d. h. der x-Achse. Denn die Abszissen der Schnittpunkte dieser
beiden Tangenten mit der x-Achse sind:
X= x - a Coth — o
und
X'== x'- a Coth x'- o,
und es ist X'- X = 0 wegen (37).
Wir bemerken noch, daß die Lindelöf'sche Konstruktion ganz allgemein
für diejenigen Probleme der Variationsrechnung gilt, für welche das allgemeine
Integral der Euler'schen Differentialgleichung die Form hat:
y aF ( —)
Wir knüpfen hieran noch einige Bemerkungen über die Enveloppe der
Schar von Kettenlinien durch den Punkt P,.
1) Der Leser möge sich die diese Funktion darstellende Kurve aufzeichnen.
2) LINDELÖF-MOIGNO, loC. cit., p. 209, und LINDELÖF, Mathematische
Annalen, Bd. II (1870), p. 160.